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Theorem trsbc 28562
Description: Formula-building inference rule for class substitution, substituting a class variable for the set variable of the transitivity predicate. trsbc 28562 is trsbcVD 28926 without virtual deductions and was automatically derived from trsbcVD 28926 using the tools program translate..without..overwriting.cmd and Metamath's minimize command. (Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trsbc  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem trsbc
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr2 4296 . . 3  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
21sbcbiiOLD 3209 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
3 sbcalg 3201 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
4 sbcalg 3201 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
5 pm3.31 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
6 pm3.3 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  ->  (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) ) )
75, 6impbii 181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
87sbcbiiOLD 3209 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
9 sbcim2g 28560 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) )
10 biidd 229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
1110sbcieg 3185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
12 sbcel2gv 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A ) )
13 sbcel2gv 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A ) )
14 imbi13 28541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A )  -> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) ) )
1511, 12, 13, 14syl3c 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x
) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) )
169, 15bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) )
17 pm3.31 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
18 pm3.3 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A )  ->  (
z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
1917, 18impbii 181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
2016, 19syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
218, 20bitr3d 247 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
2221albidv 1635 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
234, 22bitrd 245 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
2423albidv 1635 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
253, 24bitrd 245 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
26 dftr2 4296 . . 3  |-  ( Tr  A  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
2725, 26syl6bbr 255 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) )
282, 27bitrd 245 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   [.wsbc 3153   Tr wtr 4294
This theorem is referenced by:  truniALT  28563  truniALTVD  28927  trintALTVD  28929  trintALT  28930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-v 2950  df-sbc 3154  df-in 3319  df-ss 3326  df-uni 4008  df-tr 4295
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