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Theorem trsbcVD 28726
Description: Formula-building inference rule for class substitution, substituting a class variable for the set variable of the transitivity predicate. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trsbc 28360 is trsbcVD 28726 without virtual deductions and was automatically derived from trsbcVD 28726.
1::  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) ).
3:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A ) ).
4:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A ) ).
5:1,2,3,4:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
6:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) ).
7:5,6:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
8::  |-  ( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
9:7,8:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
10::  |-  ( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
11:10:  |-  A. x ( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
12:1,11:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
13:9,12:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
14:13:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
15:14:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
16:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
17:15,16:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
18:17:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. z ( [. A  /  x ]. A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
19:18:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
20:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
21:19,20:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
22::  |-  ( Tr  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
23:21,22:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( (  z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A ) ).
24::  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
25:24:  |-  A. x ( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
26:1,25:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
27:23,26:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A ) ).
qed:27:  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A ) )
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trsbcVD  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem trsbcVD
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 28398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2 biidd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
32sbcieg 3025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
41, 3e1_ 28461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) ).
5 sbcel2gv 3053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A ) )
61, 5e1_ 28461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
) ).
7 sbcel2gv 3053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A ) )
81, 7e1_ 28461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A
) ).
9 imbi13 28339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
[. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A )  -> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) ) )
109a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  (
( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A )  -> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) ) ) )
111, 4, 6, 8, 10e1111 28509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
12 sbcim2g 28358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) )
131, 12e1_ 28461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) ).
14 bibi1 317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  <-> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) )
1514biimprcd 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x
) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) )  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) )
1611, 13, 15e11 28522 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ).
17 pm3.31 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
18 pm3.3 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A )  ->  (
z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
1917, 18impbii 180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
20 bibi1 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  <->  ( (
z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
2120biimprd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
2216, 19, 21e10 28529 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
23 pm3.31 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
24 pm3.3 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  ->  (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) ) )
2523, 24impbii 180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
2625ax-gen 1535 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x
( ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
27 sbcbi 28359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ) )
281, 26, 27e10 28529 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
29 bitr3 28328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3029com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3122, 28, 30e11 28522 . . . . . . . . . 10  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <-> 
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
3231gen11 28450 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
33 albi 1553 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <-> 
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( A. y [. A  /  x ]. (
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
3432, 33e1_ 28461 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
35 sbcalg 3041 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
361, 35e1_ 28461 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
37 bibi1 317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  <->  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3837biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ) )
3934, 36, 38e11 28522 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
4039gen11 28450 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  A. z ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
41 albi 1553 . . . . . 6  |-  ( A. z ( [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
4240, 41e1_ 28461 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) ) ).
43 sbcalg 3041 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
441, 43e1_ 28461 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ).
45 bibi1 317 . . . . . 6  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  <->  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) ) ) )
4645biimprcd 216 . . . . 5  |-  ( ( A. z [. A  /  x ]. A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) ) ) )
4742, 44, 46e11 28522 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) ).
48 dftr2 4117 . . . 4  |-  ( Tr  A  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
49 biantr 897 . . . . 5  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  /\  ( Tr  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) )
5049ex 423 . . . 4  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( Tr  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A ) )  -> 
( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) ) )
5147, 48, 50e10 28529 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) ).
52 dftr2 4117 . . . . 5  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
5352ax-gen 1535 . . . 4  |-  A. x
( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
54 sbcbi 28359 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( Tr  x  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) ) )
551, 53, 54e10 28529 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) ) ).
56 bibi1 317 . . . 4  |-  ( (
[. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A )  <->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A ) ) )
5756biimprcd 216 . . 3  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) ) )
5851, 55, 57e11 28522 . 2  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A ) ).
5958in1 28395 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1529    = wceq 1625    e. wcel 1686   [.wsbc 2993   Tr wtr 4115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-v 2792  df-sbc 2994  df-in 3161  df-ss 3168  df-uni 3830  df-tr 4116  df-vd1 28394
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