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Theorem tsrss 14643
Description: Any subset of a totally ordered set is totally ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
tsrss  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  TosetRel  )

Proof of Theorem tsrss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psss 14634 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
2 inss1 3553 . . . . . 6  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  R
3 dmss 5060 . . . . . 6  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  R  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R )
4 ssralv 3399 . . . . . 6  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R  ->  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) ) )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) )
6 ssralv 3399 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  R  ->  ( A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x R y  \/  y R x ) ) )
72, 3, 6mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
87ralimi 2773 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
95, 8syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x ) )
10 inss2 3554 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( A  X.  A
)
11 dmss 5060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  dom  ( A  X.  A ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  dom  ( A  X.  A
)
13 dmxpid 5080 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( A  X.  A )  =  A
1412, 13sseqtri 3372 . . . . . . . 8  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  A
1514sseli 3336 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  ->  x  e.  A )
1614sseli 3336 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  -> 
y  e.  A )
17 brinxp 4931 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x R y  <-> 
x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y ) )
18 brinxp 4931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( y R x  <-> 
y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
1918ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( y R x  <-> 
y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
2017, 19orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  ( x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2115, 16, 20syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  ( x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2221ralbidva 2713 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  -> 
( A. y  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x R y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
2322ralbiia 2729 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x R y  \/  y R x )  <->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
249, 23sylib 189 . . 3  |-  ( A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x )  ->  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
251, 24anim12i 550 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) )  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
/\  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) ) )
26 eqid 2435 . . 3  |-  dom  R  =  dom  R
2726istsr2 14638 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel 
<->  ( R  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x R y  \/  y R x ) ) )
28 eqid 2435 . . 3  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
2928istsr2 14638 . 2  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  TosetRel 
<->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) A. y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ( x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y  \/  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) ) )
3025, 27, 293imtr4i 258 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  TosetRel  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    X. cxp 4867   dom cdm 4869   PosetRelcps 14612    TosetRel ctsr 14613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ps 14617  df-tsr 14618
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