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Theorem ttukeylem3 8383
Description: Lemma for ttukey 8390. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G `
 C )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, C    x, G, z    ph, z    x, A, z    x, B, z    x, F, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem3
StepHypRef Expression
1 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
21tfr2 6651 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( G `  C )  =  ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) `
 ( G  |`  C ) ) )
32adantl 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G `
 C )  =  ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
4 eqidd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
5 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
z  =  ( G  |`  C ) )
65dmeqd 5064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  dom  z  =  dom  ( G  |`  C ) )
71tfr1 6650 . . . . . . . . 9  |-  G  Fn  On
8 onss 4763 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  On  ->  C  C_  On )
98ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  C  C_  On )
10 fnssres 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  On  /\  C  C_  On )  -> 
( G  |`  C )  Fn  C )
117, 9, 10sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( G  |`  C )  Fn  C )
12 fndm 5536 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  |`  C )  Fn  C  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
146, 13eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  dom  z  =  C
)
1514unieqd 4018 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  U. dom  z  =  U. C )
1614, 15eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( dom  z  =  U. dom  z  <->  C  =  U. C ) )
1714eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( dom  z  =  (/)  <->  C  =  (/) ) )
185rneqd 5089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  ran  z  =  ran  ( G  |`  C ) )
19 df-ima 4883 . . . . . . . 8  |-  ( G
" C )  =  ran  ( G  |`  C )
2018, 19syl6eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  ran  z  =  ( G " C ) )
2120unieqd 4018 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  U. ran  z  =  U. ( G " C ) )
2217, 21ifbieq2d 3751 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z )  =  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) )
235, 15fveq12d 5726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( z `  U. dom  z )  =  ( ( G  |`  C ) `
 U. C ) )
2415fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( F `  U. dom  z )  =  ( F `  U. C
) )
2524sneqd 3819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  { ( F `  U. dom  z ) }  =  { ( F `
 U. C ) } )
2623, 25uneq12d 3494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  =  ( ( ( G  |`  C ) `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } ) )
2726eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A  <->  ( (
( G  |`  C ) `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A
) )
28 eqidd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  (/)  =  (/) )
2927, 25, 28ifbieq12d 3753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )
3023, 29uneq12d 3494 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u.  {
( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) )  =  ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )
3116, 22, 30ifbieq12d 3753 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
32 onuni 4765 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  On  ->  U. C  e.  On )
3332ad3antlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  U. C  e.  On )
34 sucidg 4651 . . . . . . . . 9  |-  ( U. C  e.  On  ->  U. C  e.  suc  U. C )
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  U. C  e.  suc  U. C )
36 eloni 4583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
3736ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  Ord  C )
38 orduniorsuc 4802 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
C  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  -> 
( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
4039orcanai 880 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  C  =  suc  U. C
)
4135, 40eleqtrrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  U. C  e.  C
)
42 fvres 5737 . . . . . . 7  |-  ( U. C  e.  C  ->  ( ( G  |`  C ) `
 U. C )  =  ( G `  U. C ) )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( G  |`  C ) `  U. C )  =  ( G `  U. C
) )
4443uneq1d 3492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  =  ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } ) )
4544eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A  <->  ( ( G `  U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A
) )
4645ifbid 3749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  ->  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )
4743, 46uneq12d 3494 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  /\  -.  C  = 
U. C )  -> 
( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )  =  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )
4847ifeq2da 3757 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( C  =  U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u.  if ( ( ( ( G  |`  C ) `  U. C )  u. 
{ ( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
4931, 48eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  z  =  ( G  |`  C ) )  ->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
50 fnfun 5534 . . . . 5  |-  ( G  Fn  On  ->  Fun  G )
517, 50ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  G
52 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  C  e.  On )
53 resfunexg 5949 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G  |`  C )  e. 
_V )
5451, 52, 53sylancr 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G  |`  C )  e.  _V )
55 ttukeylem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
56 elex 2956 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  B  e.  _V )
5755, 56syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
58 funimaexg 5522 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G " C )  e. 
_V )
5951, 58mpan 652 . . . . . 6  |-  ( C  e.  On  ->  ( G " C )  e. 
_V )
60 uniexg 4698 . . . . . 6  |-  ( ( G " C )  e.  _V  ->  U. ( G " C )  e. 
_V )
6159, 60syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  On  ->  U. ( G " C )  e. 
_V )
62 ifcl 3767 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  U. ( G " C
)  e.  _V )  ->  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) )  e.  _V )
6357, 61, 62syl2an 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) )  e. 
_V )
64 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( G `
 U. C )  e.  _V
65 snex 4397 . . . . . 6  |-  { ( F `  U. C
) }  e.  _V
66 0ex 4331 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
6765, 66ifex 3789 . . . . 5  |-  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) )  e.  _V
6864, 67unex 4699 . . . 4  |-  ( ( G `  U. C
)  u.  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) )  e.  _V
69 ifcl 3767 . . . 4  |-  ( ( if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) )  e.  _V  /\  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) )  e.  _V )  ->  if ( C  =  U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `
 U. C )  u.  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )  e. 
_V )
7063, 68, 69sylancl 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  if ( C  =  U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C
)  u.  if ( ( ( G `  U. C )  u.  {
( F `  U. C ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) )  e. 
_V )
714, 49, 54, 70fvmptd 5802 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) `
 ( G  |`  C ) )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
723, 71eqtrd 2467 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  On )  ->  ( G `
 C )  =  if ( C  = 
U. C ,  if ( C  =  (/) ,  B ,  U. ( G " C ) ) ,  ( ( G `  U. C )  u.  if ( ( ( G `
 U. C )  u.  { ( F `
 U. C ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. C ) } ,  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   Ord word 4572   Oncon0 4573   suc csuc 4575   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  recscrecs 6624   Fincfn 7101   cardccrd 7814
This theorem is referenced by:  ttukeylem4  8384  ttukeylem5  8385  ttukeylem6  8386  ttukeylem7  8387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625
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