Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tx2cn Structured version   Unicode version

Theorem tx2cn 17644
 Description: Continuity of the second projection map of a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx2cn TopOn TopOn

Proof of Theorem tx2cn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f2ndres 6371 . . 3
21a1i 11 . 2 TopOn TopOn
3 toponss 16996 . . . . . . . . . 10 TopOn
43adantll 696 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
5 xpss2 4987 . . . . . . . . 9
64, 5syl 16 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
76sseld 3349 . . . . . . 7 TopOn TopOn
87pm4.71rd 618 . . . . . 6 TopOn TopOn
9 ffn 5593 . . . . . . . 8
10 elpreima 5852 . . . . . . . 8
111, 9, 10mp2b 10 . . . . . . 7
12 fvres 5747 . . . . . . . . . 10
1312eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
14 1st2nd2 6388 . . . . . . . . . 10
15 xp1st 6378 . . . . . . . . . 10
16 elxp6 6380 . . . . . . . . . . . 12
17 anass 632 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17bitr4i 245 . . . . . . . . . . 11
1918baib 873 . . . . . . . . . 10
2014, 15, 19syl2anc 644 . . . . . . . . 9
2113, 20bitr4d 249 . . . . . . . 8
2221pm5.32i 620 . . . . . . 7
2311, 22bitri 242 . . . . . 6
248, 23syl6rbbr 257 . . . . 5 TopOn TopOn
2524eqrdv 2436 . . . 4 TopOn TopOn
26 toponmax 16995 . . . . . . 7 TopOn
2726adantr 453 . . . . . 6 TopOn TopOn
28 txopn 17636 . . . . . . 7 TopOn TopOn
2928expr 600 . . . . . 6 TopOn TopOn
3027, 29mpdan 651 . . . . 5 TopOn TopOn
3130imp 420 . . . 4 TopOn TopOn
3225, 31eqeltrd 2512 . . 3 TopOn TopOn
3332ralrimiva 2791 . 2 TopOn TopOn
34 txtopon 17625 . . 3 TopOn TopOn TopOn
35 iscn 17301 . . 3 TopOn TopOn
3634, 35sylancom 650 . 2 TopOn TopOn
372, 33, 36mpbir2and 890 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322  cop 3819   cxp 4878  ccnv 4879   cres 4882  cima 4883   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  c1st 6349  c2nd 6350  TopOnctopon 16961   ccn 17290   ctx 17594 This theorem is referenced by:  txcn  17660  txcmpb  17678  txkgen  17686  cnmpt2nd  17703  sxbrsiga  24642  txsconlem  24929  txscon  24930  hausgraph  27510 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-map 7022  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cn 17293  df-tx 17596
 Copyright terms: Public domain W3C validator