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Theorem txbas 17210
Description: The set of Cartesian products of elements from two topological bases is a basis. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  (  x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
txbas  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  TopBases )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem txbas
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . . . . . 8  |-  B  =  ran  (  x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2 xpeq1 4677 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x  X.  y )  =  ( a  X.  y ) )
3 xpeq2 4678 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  (
a  X.  y )  =  ( a  X.  b ) )
42, 3cbvmpt2v 5846 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( a  e.  R ,  b  e.  S  |->  ( a  X.  b ) )
54rnmpt2 5874 . . . . . . . 8  |-  ran  (  x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  { u  |  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b ) }
61, 5eqtri 2276 . . . . . . 7  |-  B  =  { u  |  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b ) }
76abeq2i 2363 . . . . . 6  |-  ( u  e.  B  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b
) )
8 xpeq1 4677 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  c  ->  (
x  X.  y )  =  ( c  X.  y ) )
9 xpeq2 4678 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  d  ->  (
c  X.  y )  =  ( c  X.  d ) )
108, 9cbvmpt2v 5846 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( c  e.  R ,  d  e.  S  |->  ( c  X.  d ) )
1110rnmpt2 5874 . . . . . . . 8  |-  ran  (  x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  { v  |  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) }
121, 11eqtri 2276 . . . . . . 7  |-  B  =  { v  |  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) }
1312abeq2i 2363 . . . . . 6  |-  ( v  e.  B  <->  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d
) )
147, 13anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  <->  ( E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
15 reeanv 2680 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  <->  ( E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
1614, 15bitr4i 245 . . . 4  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  <->  E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
17 reeanv 2680 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  S  E. d  e.  S  (
u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  <->  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
18 basis2 16637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  a  e.  R )  /\  ( c  e.  R  /\  u  e.  (
a  i^i  c )
) )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) )
1918exp43 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  TopBases  ->  ( a  e.  R  ->  ( c  e.  R  ->  ( u  e.  ( a  i^i  c )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) ) ) ) )
2019imp42 580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  u  e.  ( a  i^i  c
) )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) )
21 basis2 16637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  TopBases  /\  b  e.  S )  /\  ( d  e.  S  /\  v  e.  (
b  i^i  d )
) )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )
2221exp43 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  TopBases  ->  ( b  e.  S  ->  ( d  e.  S  ->  ( v  e.  ( b  i^i  d )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) ) ) ) )
2322imp42 580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  TopBases  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  /\  v  e.  ( b  i^i  d
) )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )
24 reeanv 2680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  (
( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( E. x  e.  R  (
u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d ) ) ) )
25 opelxpi 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  x  /\  v  e.  y )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y
) )
26 xpss12 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  C_  ( a  i^i  c )  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) )  ->  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )
2725, 26anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  v  e.  y
)  /\  ( x  C_  ( a  i^i  c
)  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  -> 
( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
2827an4s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  -> 
( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
2928reximi 2623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  e.  S  ( ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3029reximi 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  (
( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3124, 30sylbir 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3220, 23, 31syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  u  e.  ( a  i^i  c ) )  /\  ( ( S  e.  TopBases 
/\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S ) )  /\  v  e.  ( b  i^i  d ) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3332an4s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  /\  (
u  e.  ( a  i^i  c )  /\  v  e.  ( b  i^i  d ) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3433ralrimivva 2608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  ->  A. u  e.  ( a  i^i  c
) A. v  e.  ( b  i^i  d
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
35 eleq1 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  <->  <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y ) ) )
3635anbi1d 688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( p  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
37362rexbidv 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) ) )
3837ralxp 4801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( (
a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) )  <->  A. u  e.  ( a  i^i  c ) A. v  e.  ( b  i^i  d ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3934, 38sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
4039an4s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
( a  e.  R  /\  c  e.  R
)  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S ) ) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
4140anassrs 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  S  e.  TopBases )  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
42 ineq12 3326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( u  i^i  v
)  =  ( ( a  X.  b )  i^i  ( c  X.  d ) ) )
43 inxp 4792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  X.  b )  i^i  ( c  X.  d ) )  =  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
)
4442, 43syl6eq 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( u  i^i  v
)  =  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d ) ) )
4544sseq2d 3167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( t  C_  (
u  i^i  v )  <->  t 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
4645anbi2d 687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
4746rexbidv 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
481rexeqi 2712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. t  e.  ran  (  x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
49 fvex 5458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  z )  e.  _V
50 fvex 5458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  z )  e.  _V
5149, 50xpex 4775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  e.  _V
5251rgenw 2583 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. z  e.  ( R  X.  S
) ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  e.  _V
53 vex 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
54 vex 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5553, 54op1std 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
5653, 54op2ndd 6051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
5755, 56xpeq12d 4688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  X.  y ) )
5857mpt2mpt 5859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( R  X.  S )  |->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) ) )  =  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y
) )
5958eqcomi 2260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( z  e.  ( R  X.  S
)  |->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) )
60 eleq2 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( p  e.  t  <->  p  e.  (
( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) ) ) )
61 sseq1 3160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
)  <->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
6260, 61anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
6359, 62rexrnmpt 5590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ( R  X.  S ) ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  e.  _V  ->  ( E. t  e. 
ran  (  x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. z  e.  ( R  X.  S
) ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
6452, 63ax-mp 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  ran  (  x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  E. z  e.  ( R  X.  S
) ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) )
6557eleq2d 2323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  <->  p  e.  ( x  X.  y
) ) )
6657sseq1d 3166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) )  <-> 
( x  X.  y
)  C_  ( (
a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
6765, 66anbi12d 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( p  e.  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
6867rexxp 4802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ( R  X.  S ) ( p  e.  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  /\  (
( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
6948, 64, 683bitri 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
7047, 69syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
7144, 70raleqbidv 2718 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
7241, 71syl5ibrcom 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  S  e.  TopBases )  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  ->  (
( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
7372rexlimdvva 2647 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
a  e.  R  /\  c  e.  R )
)  ->  ( E. b  e.  S  E. d  e.  S  (
u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7417, 73syl5bir 211 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
a  e.  R  /\  c  e.  R )
)  ->  ( ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7574rexlimdvva 2647 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7616, 75syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( (
u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  A. p  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7776ralrimivv 2607 . 2  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
781txbasex 17209 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  _V )
79 isbasis2g 16634 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
8078, 79syl 17 . 2  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( B  e. 
TopBases  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
8177, 80mpbird 225 1  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    i^i cin 3112    C_ wss 3113   <.cop 3603    e. cmpt 4037    X. cxp 4645   ran crn 4648   ` cfv 4659    e. cmpt2 5780   1stc1st 6040   2ndc2nd 6041   TopBasesctb 16583
This theorem is referenced by:  txtop  17212  tx2ndc  17293  mbfimaopnlem  18958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-fv 4675  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-bases 16586
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