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Theorem txbasval 17263
Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( topGen `  R
)  tX  ( topGen `  S ) )  =  ( R  tX  S
) )

Proof of Theorem txbasval
StepHypRef Expression
1 eqid 2258 . . 3  |-  ran  (  u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (  u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
21txval 17221 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
3 resss 4967 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  |`  ( R  X.  S
) )  C_  (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )
4 bastg 16666 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  R  C_  ( topGen `  R )
)
5 bastg 16666 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  W  ->  S  C_  ( topGen `  S )
)
6 resmpt2 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  C_  ( topGen `  R )  /\  S  C_  ( topGen `  S )
)  ->  ( (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  |`  ( R  X.  S
) )  =  ( u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )
74, 5, 6syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  |`  ( R  X.  S ) )  =  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) ) )
87sseq1d 3180 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( ( u  e.  ( topGen `  R
) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v
) )  |`  ( R  X.  S ) ) 
C_  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  <->  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( u  e.  ( topGen `
 R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
93, 8mpbii 204 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  C_  (
u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) ) )
10 rnss 4895 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  ->  ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) 
C_  ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) )
12 eltg3 16662 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  V  ->  (
u  e.  ( topGen `  R )  <->  E. m
( m  C_  R  /\  u  =  U. m ) ) )
13 eltg3 16662 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  W  ->  (
v  e.  ( topGen `  S )  <->  E. n
( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) ) )
1412, 13bi2anan9 848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  R )  /\  v  e.  ( topGen `
 S ) )  <-> 
( E. m ( m  C_  R  /\  u  =  U. m
)  /\  E. n
( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) ) ) )
15 eeanv 2058 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. m E. n ( ( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  (
n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  <->  ( E. m ( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  E. n ( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) ) )
16 an4 800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  (
n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  <->  ( (
m  C_  R  /\  n  C_  S )  /\  ( u  =  U. m  /\  v  =  U. n ) ) )
17 uniiun 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. m  =  U_ x  e.  m  x
18 uniiun 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. n  =  U_ y  e.  n  y
1917, 18xpeq12i 4699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. m  X.  U. n )  =  ( U_ x  e.  m  x  X.  U_ y  e.  n  y )
20 xpiundir 4732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ x  e.  m  x  X.  U_ y  e.  n  y )  =  U_ x  e.  m  (
x  X.  U_ y  e.  n  y )
21 xpiundi 4731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  X.  U_ y  e.  n  y )  = 
U_ y  e.  n  ( x  X.  y
)
2221a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  m  ->  (
x  X.  U_ y  e.  n  y )  =  U_ y  e.  n  ( x  X.  y
) )
2322iuneq2i 3897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  m  ( x  X.  U_ y  e.  n  y )  =  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  (
x  X.  y )
2419, 20, 233eqtri 2282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. m  X.  U. n )  =  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )
25 ovex 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R 
tX  S )  e. 
_V
26 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( m  C_  R  /\  x  e.  m )  ->  x  e.  R )
27 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  C_  S  /\  y  e.  n )  ->  y  e.  S )
2826, 27anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( m  C_  R  /\  x  e.  m
)  /\  ( n  C_  S  /\  y  e.  n ) )  -> 
( x  e.  R  /\  y  e.  S
) )
2928an4s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( m  C_  R  /\  n  C_  S )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n ) )  -> 
( x  e.  R  /\  y  e.  S
) )
30 txopn 17259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3129, 30sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( (
m  C_  R  /\  n  C_  S )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n
) ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3231anassrs 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n ) )  -> 
( x  X.  y
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3332anassrs 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  /\  y  e.  n )  ->  (
x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
3433ralrimiva 2601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  A. y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
35 tgiun 16679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  _V  /\  A. y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )  ->  U_ y  e.  n  ( x  X.  y
)  e.  ( topGen `  ( R  tX  S
) ) )
3625, 34, 35sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  (
topGen `  ( R  tX  S ) ) )
371txbasex 17223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e. 
_V )
38 tgidm 16680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  e.  _V  ->  ( topGen `  ( topGen ` 
ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ( topGen ` 
ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
402fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ( R  tX  S ) )  =  ( topGen `  ( topGen ` 
ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) ) )
4139, 40, 23eqtr4d 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ( R  tX  S ) )  =  ( R  tX  S
) )
4241adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  -> 
( topGen `  ( R  tX  S ) )  =  ( R  tX  S
) )
4342adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  ( topGen `  ( R  tX  S
) )  =  ( R  tX  S ) )
4436, 43eleqtrd 2334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  (
m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  /\  x  e.  m
)  ->  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
4544ralrimiva 2601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  ->  A. x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
46 tgiun 16679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  _V  /\  A. x  e.  m  U_ y  e.  n  (
x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )  ->  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( topGen `  ( R  tX  S ) ) )
4725, 45, 46sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  ->  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( topGen `  ( R  tX  S ) ) )
4847, 42eleqtrd 2334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  ->  U_ x  e.  m  U_ y  e.  n  ( x  X.  y )  e.  ( R  tX  S ) )
4924, 48syl5eqel 2342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  -> 
( U. m  X.  U. n )  e.  ( R  tX  S ) )
50 xpeq12 4696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =  U. m  /\  v  =  U. n )  ->  (
u  X.  v )  =  ( U. m  X.  U. n ) )
5150eleq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  U. m  /\  v  =  U. n )  ->  (
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S )  <->  ( U. m  X.  U. n )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5249, 51syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( m  C_  R  /\  n  C_  S ) )  -> 
( ( u  = 
U. m  /\  v  =  U. n )  -> 
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
5352expimpd 589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( ( m 
C_  R  /\  n  C_  S )  /\  (
u  =  U. m  /\  v  =  U. n ) )  -> 
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
5416, 53syl5bi 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( ( m 
C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  ( n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  ->  (
u  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5554exlimdvv 2027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( E. m E. n ( ( m 
C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  ( n  C_  S  /\  v  =  U. n
) )  ->  (
u  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5615, 55syl5bir 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( E. m
( m  C_  R  /\  u  =  U. m )  /\  E. n ( n  C_  S  /\  v  =  U. n ) )  -> 
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
5714, 56sylbid 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  R )  /\  v  e.  ( topGen `
 S ) )  ->  ( u  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) ) )
5857ralrimivv 2609 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  A. u  e.  (
topGen `  R ) A. v  e.  ( topGen `  S ) ( u  X.  v )  e.  ( R  tX  S
) )
59 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( topGen `  R
) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v
) )  =  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )
6059fmpt2 6125 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  ( topGen `  R ) A. v  e.  ( topGen `  S )
( u  X.  v
)  e.  ( R 
tX  S )  <->  ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) : ( (
topGen `  R )  X.  ( topGen `  S )
) --> ( R  tX  S ) )
6158, 60sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( u  e.  (
topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) : ( ( topGen `  R )  X.  ( topGen `
 S ) ) --> ( R  tX  S
) )
62 frn 5333 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) ) : ( ( topGen `  R
)  X.  ( topGen `  S ) ) --> ( R  tX  S )  ->  ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( R  tX  S ) )
6361, 62syl 17 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( R  tX  S ) )
6463, 2sseqtrd 3189 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( topGen ` 
ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
65 2basgen 16690 . . . 4  |-  ( ( ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )  /\  ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  C_  ( topGen `  ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )  ->  ( topGen `
 ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  ( topGen `  ran  (  u  e.  ( topGen `
 R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
6611, 64, 65syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
67 fvex 5472 . . . 4  |-  ( topGen `  R )  e.  _V
68 fvex 5472 . . . 4  |-  ( topGen `  S )  e.  _V
69 eqid 2258 . . . . 5  |-  ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `  S
)  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) )
7069txval 17221 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  R )  e.  _V  /\  ( topGen `  S )  e.  _V )  ->  ( ( topGen `  R )  tX  ( topGen `
 S ) )  =  ( topGen `  ran  (  u  e.  ( topGen `
 R ) ,  v  e.  ( topGen `  S )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
7167, 68, 70mp2an 656 . . 3  |-  ( (
topGen `  R )  tX  ( topGen `  S )
)  =  ( topGen ` 
ran  (  u  e.  ( topGen `  R ) ,  v  e.  ( topGen `
 S )  |->  ( u  X.  v ) ) )
7266, 71syl6eqr 2308 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( topGen `  ran  (  u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  ( (
topGen `  R )  tX  ( topGen `  S )
) )
732, 72eqtr2d 2291 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( topGen `  R
)  tX  ( topGen `  S ) )  =  ( R  tX  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   U.cuni 3801   U_ciun 3879    X. cxp 4659   ran crn 4662    |` cres 4663   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    e. cmpt2 5794   topGenctg 13304    tX ctx 17217
This theorem is referenced by:  tx2ndc  17307  mbfimaopnlem  18972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-topgen 13306  df-tx 17219
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