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Theorem txcmp 17597
Description: The topological product of two compact spaces is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcmp  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Comp )

Proof of Theorem txcmp
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmptop 17381 . . 3  |-  ( R  e.  Comp  ->  R  e. 
Top )
2 cmptop 17381 . . 3  |-  ( S  e.  Comp  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 17523 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eqid 2388 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2388 . . . . . 6  |-  U. S  =  U. S
7 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  R  e.  Comp )
8 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  S  e.  Comp )
9 elpwi 3751 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ~P ( R 
tX  S )  ->  w  C_  ( R  tX  S ) )
109ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  w  C_  ( R  tX  S ) )
115, 6txuni 17546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
121, 2, 11syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
1312adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. ( R  tX  S ) )
14 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  U. ( R  tX  S )  =  U. w )
1513, 14eqtrd 2420 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. w )
165, 6, 7, 8, 10, 15txcmplem2 17596 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) ( U. R  X.  U. S )  = 
U. v )
1713eqeq1d 2396 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( ( U. R  X.  U. S )  =  U. v  <->  U. ( R  tX  S )  = 
U. v ) )
1817rexbidv 2671 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P w  i^i 
Fin ) ( U. R  X.  U. S )  =  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P w  i^i 
Fin ) U. ( R  tX  S )  = 
U. v ) )
1916, 18mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S )  =  U. v )
2019expr 599 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  w  e.  ~P ( R  tX  S ) )  ->  ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) )
2120ralrimiva 2733 . 2  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  A. w  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) )
22 eqid 2388 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
2322iscmp 17374 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Comp  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. w  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) ) )
244, 21, 23sylanbrc 646 1  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   U.cuni 3958    X. cxp 4817  (class class class)co 6021   Fincfn 7046   Topctop 16882   Compccmp 17372    tX ctx 17514
This theorem is referenced by:  txcmpb  17598  txkgen  17606  ptcmpfi  17767  xkohmeo  17769  cnheiborlem  18851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-fin 7050  df-topgen 13595  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cmp 17373  df-tx 17516
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