MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcmp Unicode version

Theorem txcmp 17353
Description: The topological product of two compact spaces is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcmp  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Comp )

Proof of Theorem txcmp
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmptop 17138 . . 3  |-  ( R  e.  Comp  ->  R  e. 
Top )
2 cmptop 17138 . . 3  |-  ( S  e.  Comp  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 17280 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. S  =  U. S
7 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  R  e.  Comp )
8 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  S  e.  Comp )
9 elpwi 3646 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ~P ( R 
tX  S )  ->  w  C_  ( R  tX  S ) )
109ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  w  C_  ( R  tX  S ) )
115, 6txuni 17303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
121, 2, 11syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
1312adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. ( R  tX  S ) )
14 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  U. ( R  tX  S )  =  U. w )
1513, 14eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. w )
165, 6, 7, 8, 10, 15txcmplem2 17352 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) ( U. R  X.  U. S )  = 
U. v )
1713eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( ( U. R  X.  U. S )  =  U. v  <->  U. ( R  tX  S )  = 
U. v ) )
1817rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P w  i^i 
Fin ) ( U. R  X.  U. S )  =  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P w  i^i 
Fin ) U. ( R  tX  S )  = 
U. v ) )
1916, 18mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S )  =  U. v )
2019expr 598 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  w  e.  ~P ( R  tX  S ) )  ->  ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) )
2120ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  A. w  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) )
22 eqid 2296 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
2322iscmp 17131 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Comp  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. w  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) ) )
244, 21, 23sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843    X. cxp 4703  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Topctop 16647   Compccmp 17129    tX ctx 17271
This theorem is referenced by:  txcmpb  17354  txkgen  17362  ptcmpfi  17520  xkohmeo  17522  cnheiborlem  18468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-tx 17273
  Copyright terms: Public domain W3C validator