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Theorem txcmp 17331
Description: The topological product of two compact spaces is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcmp  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Comp )
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem txcmp
StepHypRef Expression
1 cmptop 17116 . . 3  |-  ( R  e.  Comp  ->  R  e. 
Top )
2 cmptop 17116 . . 3  |-  ( S  e.  Comp  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 17258 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eqid 2284 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2284 . . . . . 6  |-  U. S  =  U. S
7 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  R  e.  Comp )
8 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  S  e.  Comp )
9 elpwi 3634 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ~P ( R 
tX  S )  ->  w  C_  ( R  tX  S ) )
109ad2antrl 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  w  C_  ( R  tX  S ) )
115, 6txuni 17281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
121, 2, 11syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
1312adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. ( R  tX  S ) )
14 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  U. ( R  tX  S )  =  U. w )
1513, 14eqtrd 2316 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. w )
165, 6, 7, 8, 10, 15txcmplem2 17330 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) ( U. R  X.  U. S )  = 
U. v )
1713eqeq1d 2292 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( ( U. R  X.  U. S )  =  U. v  <->  U. ( R  tX  S )  = 
U. v ) )
1817rexbidv 2565 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P w  i^i 
Fin ) ( U. R  X.  U. S )  =  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P w  i^i 
Fin ) U. ( R  tX  S )  = 
U. v ) )
1916, 18mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  ( w  e.  ~P ( R  tX  S )  /\  U. ( R 
tX  S )  = 
U. w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S )  =  U. v )
2019expr 600 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  /\  w  e.  ~P ( R  tX  S ) )  ->  ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) )
2120ralrimiva 2627 . 2  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  A. w  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) )
22 eqid 2284 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
2322iscmp 17109 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Comp  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. w  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( U. ( R  tX  S )  =  U. w  ->  E. v  e.  ( ~P w  i^i  Fin ) U. ( R  tX  S
)  =  U. v
) ) )
244, 21, 23sylanbrc 647 1  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Comp )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    i^i cin 3152    C_ wss 3153   ~Pcpw 3626   U.cuni 3828    X. cxp 4686  (class class class)co 5819   Fincfn 6858   Topctop 16625   Compccmp 17107    tX ctx 17249
This theorem is referenced by:  txcmpb  17332  txkgen  17340  ptcmpfi  17498  xkohmeo  17500  cnheiborlem  18446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-fin 6862  df-topgen 13338  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-cmp 17108  df-tx 17251
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