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Theorem txcmplem2 17712
Description: Lemma for txcmp 17713. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x  |-  X  = 
U. R
txcmp.y  |-  Y  = 
U. S
txcmp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
txcmp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
txcmp.w  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
txcmp.u  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
Assertion
Ref Expression
txcmplem2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v )
Distinct variable groups:    v, S    v, Y    v, W    v, X
Allowed substitution hints:    ph( v)    R( v)

Proof of Theorem txcmplem2
Dummy variables  f  u  x  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
2 txcmp.x . . . . 5  |-  X  = 
U. R
3 txcmp.y . . . . 5  |-  Y  = 
U. S
4 txcmp.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
54adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  e.  Comp )
61adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  Comp )
7 txcmp.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
87adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  W  C_  ( R  tX  S
) )
9 txcmp.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
109adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. W )
11 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
122, 3, 5, 6, 8, 10, 11txcmplem1 17711 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. u  e.  S  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
1312ralrimiva 2796 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Y  E. u  e.  S  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
14 unieq 4053 . . . . 5  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  U. v  =  U. ( f `  u ) )
1514sseq2d 3365 . . . 4  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( X  X.  u
)  C_  U. v  <->  ( X  X.  u ) 
C_  U. ( f `  u ) ) )
163, 15cmpcovf 17492 . . 3  |-  ( ( S  e.  Comp  /\  A. x  e.  Y  E. u  e.  S  (
x  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( X  X.  u
)  C_  U. v
) )  ->  E. w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) ( Y  = 
U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) ) ) )
171, 13, 16syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) ( Y  = 
U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) ) ) )
18 simprrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )
)
19 ffn 5626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  ->  f  Fn  w )
20 fniunfv 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  w  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z )  =  U. ran  f )
2118, 19, 203syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  =  U. ran  f )
22 frn 5632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  ->  ran  f  C_  ( ~P W  i^i  Fin )
)
2318, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P W  i^i  Fin )
)
24 inss1 3549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P W  i^i  Fin )  C_ 
~P W
2523, 24syl6ss 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  ran  f  C_  ~P W
)
26 sspwuni 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  f  C_  ~P W  <->  U.
ran  f  C_  W
)
2725, 26sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U. ran  f  C_  W
)
2821, 27eqsstrd 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  C_  W )
29 vex 2968 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
30 fvex 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
3129, 30iunex 6027 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  w  ( f `  z )  e.  _V
3231elpw 3834 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ z  e.  w  (
f `  z )  e.  ~P W  <->  U_ z  e.  w  ( f `  z )  C_  W
)
3328, 32sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  ~P W
)
34 inss2 3550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
Fin
35 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
3634, 35sseldi 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  w  e.  Fin )
37 inss2 3550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P W  i^i  Fin )  C_ 
Fin
38 fss 5634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( ~P W  i^i  Fin )  C_  Fin )  ->  f : w --> Fin )
3918, 37, 38sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
f : w --> Fin )
40 ffvelrn 5904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : w --> Fin  /\  z  e.  w )  ->  ( f `  z
)  e.  Fin )
4140ralrimiva 2796 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : w --> Fin  ->  A. z  e.  w  ( f `  z )  e.  Fin )
4239, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. z  e.  w  ( f `  z
)  e.  Fin )
43 iunfi 7430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. z  e.  w  ( f `  z )  e.  Fin )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  Fin )
4436, 42, 43syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  Fin )
45 elin 3519 . . . . . . . 8  |-  ( U_ z  e.  w  (
f `  z )  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  <->  ( U_ z  e.  w  ( f `  z )  e.  ~P W  /\  U_ z  e.  w  ( f `  z )  e.  Fin ) )
4633, 44, 45sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
47 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  Y  =  U. w
)
48 uniiun 4174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. w  =  U_ z  e.  w  z
4947, 48syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  Y  =  U_ z  e.  w  z )
5049xpeq2d 4937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  ( X  X.  U_ z  e.  w  z ) )
51 xpiundi 4967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  X.  U_ z  e.  w  z )  = 
U_ z  e.  w  ( X  X.  z
)
5250, 51syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  U_ z  e.  w  ( X  X.  z ) )
53 simprrr 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
)
54 xpeq2 4928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( X  X.  u )  =  ( X  X.  z
) )
55 fveq2 5763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
5655unieqd 4055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  U. (
f `  u )  =  U. ( f `  z ) )
5754, 56sseq12d 3366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )  <->  ( X  X.  z ) 
C_  U. ( f `  z ) ) )
5857cbvralv 2941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
)  <->  A. z  e.  w  ( X  X.  z
)  C_  U. (
f `  z )
)
5953, 58sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. z  e.  w  ( X  X.  z
)  C_  U. (
f `  z )
)
60 ss2iun 4137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  w  ( X  X.  z )  C_  U. ( f `  z
)  ->  U_ z  e.  w  ( X  X.  z )  C_  U_ z  e.  w  U. (
f `  z )
)
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( X  X.  z
)  C_  U_ z  e.  w  U. ( f `
 z ) )
6252, 61eqsstrd 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  C_  U_ z  e.  w  U. ( f `
 z ) )
6318ffvelrnda 5906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  ( f `  z
)  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
6424, 63sseldi 3335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  ( f `  z
)  e.  ~P W
)
65 elpwi 3836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z )  e.  ~P W  -> 
( f `  z
)  C_  W )
66 uniss 4065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z ) 
C_  W  ->  U. (
f `  z )  C_ 
U. W )
6764, 65, 663syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  U. ( f `  z )  C_  U. W
)
689ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
6967, 68sseqtr4d 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  U. ( f `  z )  C_  ( X  X.  Y ) )
7069ralrimiva 2796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. z  e.  w  U. ( f `  z
)  C_  ( X  X.  Y ) )
71 iunss 4162 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ z  e.  w  U. ( f `  z
)  C_  ( X  X.  Y )  <->  A. z  e.  w  U. (
f `  z )  C_  ( X  X.  Y
) )
7270, 71sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  U. ( f `  z
)  C_  ( X  X.  Y ) )
7362, 72eqssd 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  U_ z  e.  w  U. (
f `  z )
)
74 iuncom4 4129 . . . . . . . 8  |-  U_ z  e.  w  U. (
f `  z )  =  U. U_ z  e.  w  ( f `  z )
7573, 74syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  U. U_ z  e.  w  (
f `  z )
)
76 unieq 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  U_ z  e.  w  ( f `  z )  ->  U. v  =  U. U_ z  e.  w  ( f `  z ) )
7776eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  U_ z  e.  w  ( f `  z )  ->  (
( X  X.  Y
)  =  U. v  <->  ( X  X.  Y )  =  U. U_ z  e.  w  ( f `  z ) ) )
7877rspcev 3061 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( X  X.  Y
)  =  U. U_ z  e.  w  (
f `  z )
)  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v )
7946, 75, 78syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( X  X.  Y
)  =  U. v
)
8079expr 600 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  Y  =  U. w )  -> 
( ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v ) )
8180exlimdv 1648 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  Y  =  U. w )  -> 
( E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
)  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v ) )
8281expimpd 588 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  (
( Y  =  U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v ) )
8382rexlimdva 2837 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) ( Y  = 
U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( X  X.  Y
)  =  U. v
) )
8417, 83mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1654    e. wcel 1728   A.wral 2712   E.wrex 2713    i^i cin 3308    C_ wss 3309   ~Pcpw 3828   U.cuni 4044   U_ciun 4122    X. cxp 4911   ran crn 4914    Fn wfn 5484   -->wf 5485   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   Fincfn 7145   Compccmp 17487    tX ctx 17630
This theorem is referenced by:  txcmp  17713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-fin 7149  df-topgen 13705  df-top 17001  df-bases 17003  df-cmp 17488  df-tx 17632
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