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Theorem tz6.12-1 5463
Description: Function value. Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
tz6.12-1  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  ( F `  A )  =  y )
Distinct variable groups:    y, F    y, A

Proof of Theorem tz6.12-1
StepHypRef Expression
1 fv3 5460 . . . . . . 7  |-  ( F `
 A )  =  { z  |  ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y ) }
21abeq2i 2363 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( F `  A )  <->  ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
3 exancom 1584 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  <->  E. y
( A F y  /\  z  e.  y ) )
43anbi2ci 680 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y )  <->  ( E! y  A F y  /\  E. y ( A F y  /\  z  e.  y ) ) )
5 eupick 2179 . . . . . . 7  |-  ( ( E! y  A F y  /\  E. y
( A F y  /\  z  e.  y ) )  ->  ( A F y  ->  z  e.  y ) )
64, 5sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y )  ->  ( A F y  ->  z  e.  y ) )
72, 6sylbi 189 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( F `  A )  ->  ( A F y  ->  z  e.  y ) )
87com12 29 . . . 4  |-  ( A F y  ->  (
z  e.  ( F `
 A )  -> 
z  e.  y ) )
98adantr 453 . . 3  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  (
z  e.  ( F `
 A )  -> 
z  e.  y ) )
10 19.8a 1758 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  y  /\  A F y )  ->  E. y ( z  e.  y  /\  A F y ) )
1110anim1i 554 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y )  ->  ( E. y
( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
1211anasss 631 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  y  /\  ( A F y  /\  E! y  A F
y ) )  -> 
( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y ) )
1312, 2sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( z  e.  y  /\  ( A F y  /\  E! y  A F
y ) )  -> 
z  e.  ( F `
 A ) )
1413expcom 426 . . 3  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  (
z  e.  y  -> 
z  e.  ( F `
 A ) ) )
159, 14impbid 185 . 2  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  (
z  e.  ( F `
 A )  <->  z  e.  y ) )
1615eqrdv 2254 1  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  ( F `  A )  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E!weu 2117   class class class wbr 3983   ` cfv 4659
This theorem is referenced by:  tz6.12  5464  tz6.12c  5467  funbrfv  5481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-xp 4661  df-cnv 4663  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fv 4675
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