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Theorem tz6.12-1 5477
Description: Function value. Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
tz6.12-1  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  ( F `  A )  =  y )
Distinct variable groups:    y, F    y, A

Proof of Theorem tz6.12-1
StepHypRef Expression
1 fv3 5474 . . . . . . 7  |-  ( F `
 A )  =  { z  |  ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y ) }
21abeq2i 2365 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( F `  A )  <->  ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
3 exancom 1584 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  <->  E. y
( A F y  /\  z  e.  y ) )
43anbi2ci 680 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y )  <->  ( E! y  A F y  /\  E. y ( A F y  /\  z  e.  y ) ) )
5 eupick 2181 . . . . . . 7  |-  ( ( E! y  A F y  /\  E. y
( A F y  /\  z  e.  y ) )  ->  ( A F y  ->  z  e.  y ) )
64, 5sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y )  ->  ( A F y  ->  z  e.  y ) )
72, 6sylbi 189 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( F `  A )  ->  ( A F y  ->  z  e.  y ) )
87com12 29 . . . 4  |-  ( A F y  ->  (
z  e.  ( F `
 A )  -> 
z  e.  y ) )
98adantr 453 . . 3  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  (
z  e.  ( F `
 A )  -> 
z  e.  y ) )
10 19.8a 1758 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  y  /\  A F y )  ->  E. y ( z  e.  y  /\  A F y ) )
1110anim1i 554 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y )  ->  ( E. y
( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
1211anasss 631 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  y  /\  ( A F y  /\  E! y  A F
y ) )  -> 
( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y ) )
1312, 2sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( z  e.  y  /\  ( A F y  /\  E! y  A F
y ) )  -> 
z  e.  ( F `
 A ) )
1413expcom 426 . . 3  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  (
z  e.  y  -> 
z  e.  ( F `
 A ) ) )
159, 14impbid 185 . 2  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  (
z  e.  ( F `
 A )  <->  z  e.  y ) )
1615eqrdv 2256 1  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  ( F `  A )  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E!weu 2118   class class class wbr 3997   ` cfv 4673
This theorem is referenced by:  tz6.12  5478  tz6.12c  5481  funbrfv  5495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-xp 4675  df-cnv 4677  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fv 4689
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