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Theorem tz6.12-1 5505
Description: Function value. Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
tz6.12-1  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  ( F `  A )  =  y )
Distinct variable groups:    y, F    y, A

Proof of Theorem tz6.12-1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fv3 5502 . . . . . . 7  |-  ( F `
 A )  =  { z  |  ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y ) }
21abeq2i 2391 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( F `  A )  <->  ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
3 exancom 1573 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  <->  E. y
( A F y  /\  z  e.  y ) )
43anbi2ci 677 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y )  <->  ( E! y  A F y  /\  E. y ( A F y  /\  z  e.  y ) ) )
5 eupick 2207 . . . . . . 7  |-  ( ( E! y  A F y  /\  E. y
( A F y  /\  z  e.  y ) )  ->  ( A F y  ->  z  e.  y ) )
64, 5sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y )  ->  ( A F y  ->  z  e.  y ) )
72, 6sylbi 187 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( F `  A )  ->  ( A F y  ->  z  e.  y ) )
87com12 27 . . . 4  |-  ( A F y  ->  (
z  e.  ( F `
 A )  -> 
z  e.  y ) )
98adantr 451 . . 3  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  (
z  e.  ( F `
 A )  -> 
z  e.  y ) )
10 19.8a 1720 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  y  /\  A F y )  ->  E. y ( z  e.  y  /\  A F y ) )
1110anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y )  ->  ( E. y
( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
1211anasss 628 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  y  /\  ( A F y  /\  E! y  A F
y ) )  -> 
( E. y ( z  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y ) )
1312, 2sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( z  e.  y  /\  ( A F y  /\  E! y  A F
y ) )  -> 
z  e.  ( F `
 A ) )
1413expcom 424 . . 3  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  (
z  e.  y  -> 
z  e.  ( F `
 A ) ) )
159, 14impbid 183 . 2  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  (
z  e.  ( F `
 A )  <->  z  e.  y ) )
1615eqrdv 2282 1  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  ( F `  A )  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685   E!weu 2144   class class class wbr 4024   ` cfv 5221
This theorem is referenced by:  tz6.12  5506  tz6.12c  5509  funbrfv  5523  tz6.12-afv  27426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-xp 4694  df-cnv 4696  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fv 5229
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