MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz6.12-2 Unicode version

Theorem tz6.12-2 5445
Description: Function value when  F is not a function. Theorem 6.12(2) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tz6.12-2  |-  ( -.  E! y  A F y  ->  ( F `  A )  =  (/) )
Distinct variable groups:    y, A    y, F

Proof of Theorem tz6.12-2
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )  ->  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )
21eximi 1574 . . . 4  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  E. z A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )
3 elfv 5421 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F `  A )  <->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) )
4 df-eu 2121 . . . 4  |-  ( E! y  A F y  <->  E. z A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )
52, 3, 43imtr4i 259 . . 3  |-  ( x  e.  ( F `  A )  ->  E! y  A F y )
65con3i 129 . 2  |-  ( -.  E! y  A F y  ->  -.  x  e.  ( F `  A
) )
76eq0rdv 3431 1  |-  ( -.  E! y  A F y  ->  ( F `  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E!weu 2117   (/)c0 3397   class class class wbr 3963   ` cfv 4638
This theorem is referenced by:  tz6.12i  5447  ndmfv  5451  nfunsn  5457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-xp 4640  df-cnv 4642  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fv 4654
  Copyright terms: Public domain W3C validator