MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz6.12c Unicode version

Theorem tz6.12c 5446
Description: Corollary of Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
tz6.12c  |-  ( E! y  A F y  ->  ( ( F `
 A )  =  y  <->  A F y ) )
Distinct variable groups:    y, F    y, A

Proof of Theorem tz6.12c
StepHypRef Expression
1 euex 2139 . . . 4  |-  ( E! y  A F y  ->  E. y  A F y )
2 nfeu1 2127 . . . . . 6  |-  F/ y E! y  A F y
3 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ y  A F ( F `
 A )
42, 3nfim 1735 . . . . 5  |-  F/ y ( E! y  A F y  ->  A F ( F `  A ) )
5 tz6.12-1 5442 . . . . . . . 8  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  ( F `  A )  =  y )
65expcom 426 . . . . . . 7  |-  ( E! y  A F y  ->  ( A F y  ->  ( F `  A )  =  y ) )
7 breq2 3967 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  =  y  ->  ( A F ( F `  A )  <->  A F
y ) )
87biimprd 216 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  =  y  ->  ( A F y  ->  A F ( F `  A ) ) )
96, 8syli 35 . . . . . 6  |-  ( E! y  A F y  ->  ( A F y  ->  A F
( F `  A
) ) )
109com12 29 . . . . 5  |-  ( A F y  ->  ( E! y  A F
y  ->  A F
( F `  A
) ) )
114, 10exlimi 1781 . . . 4  |-  ( E. y  A F y  ->  ( E! y  A F y  ->  A F ( F `  A ) ) )
121, 11mpcom 34 . . 3  |-  ( E! y  A F y  ->  A F ( F `  A ) )
1312, 7syl5ibcom 213 . 2  |-  ( E! y  A F y  ->  ( ( F `
 A )  =  y  ->  A F
y ) )
1413, 6impbid 185 1  |-  ( E! y  A F y  ->  ( ( F `
 A )  =  y  <->  A F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178   E.wex 1537    = wceq 1619   E!weu 2117   class class class wbr 3963   ` cfv 4638
This theorem is referenced by:  tz6.12i  5447  fnbrfvb  5462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-xp 4640  df-cnv 4642  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fv 4654
  Copyright terms: Public domain W3C validator