Theorem tz6.12f 3723

Description: Function value, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.

Hypothesis

Ref	Expression
tz6.12f.1	|- (w e. F -> A.y w e. F)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12f	|- ((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y)

Distinct variable groups:   x,y,w   w,F

Proof of Theorem tz6.12f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 968	. 2 |- (((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y) -> A.z((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y))
2		opeq2 2479	. . . . 5 |- (z = y -> <.x, z>. = <.x, y>.)
3	2	eleq1d 1532	. . . 4 |- (z = y -> (<.x, z>. e. F <-> <.x, y>. e. F))
4		ax-17 968	. . . . . . 7 |- (w e. <.x, z>. -> A.y w e. <.x, z>.)
5		tz6.12f.1	. . . . . . 7 |- (w e. F -> A.y w e. F)
6	4, 5	hbel 1558	. . . . . 6 |- (<.x, z>. e. F -> A.y<.x, z>. e. F)
7		ax-17 968	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. F -> A.z<.x, y>. e. F)
8	6, 7, 3	cbveu 1384	. . . . 5 |- (E!z<.x, z>. e. F <-> E!y<.x, y>. e. F)
9	8	a1i 8	. . . 4 |- (z = y -> (E!z<.x, z>. e. F <-> E!y<.x, y>. e. F))
10	3, 9	anbi12d 626	. . 3 |- (z = y -> ((<.x, z>. e. F /\ E!z<.x, z>. e. F) <-> (<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F)))
11		eqeq2 1476	. . 3 |- (z = y -> ((F` x) = z <-> (F` x) = y))
12	10, 11	imbi12d 624	. 2 |- (z = y -> (((<.x, z>. e. F /\ E!z<.x, z>. e. F) -> (F` x) = z) <-> ((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y)))
13		visset 1804	. . 3 |- x e. V
14	13	tz6.12 3722	. 2 |- ((<.x, z>. e. F /\ E!z<.x, z>. e. F) -> (F` x) = z)
15	1, 12, 14	chvar 1163	1 |- ((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E!weu 1373  <.cop 2401  ` cfv 3172

This theorem is referenced by:  fvopab2 3776

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188

Copyright terms: Public domain