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Theorem tz7.44-3 6657
Description: The value of  F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
tz7.44.1  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
tz7.44.2  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
tz7.44.3  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
tz7.44.4  |-  F  Fn  X
tz7.44.5  |-  Ord  X
Assertion
Ref Expression
tz7.44-3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    y, G    x, H    y, X
Allowed substitution hints:    A( y)    G( x)    H( y)    X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3
StepHypRef Expression
1 fveq2 5719 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  B ) )
2 reseq2 5132 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
32fveq2d 5723 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( G `  ( F  |`  y ) )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
41, 3eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  y ) )  <->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) ) )
5 tz7.44.2 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
64, 5vtoclga 3009 . . . 4  |-  ( B  e.  X  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
82eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
)  e.  _V  <->  ( F  |`  B )  e.  _V ) )
9 tz7.44.3 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
108, 9vtoclga 3009 . . . . . 6  |-  ( B  e.  X  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
12 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  B )
13 nlim0 4631 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  Lim  (/)
14 dmres 5158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( F  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  F )
15 tz7.44.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  X
16 ordelss 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  X  /\  B  e.  X )  ->  B  C_  X )
1715, 16mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  X  ->  B  C_  X )
1817adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_  X )
19 tz7.44.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
20 fndm 5535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  F  =  X
2218, 21syl6sseqr 3387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_ 
dom  F )
23 df-ss 3326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C_  dom  F  <->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2422, 23sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2514, 24syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  dom  ( F  |`  B )  =  B )
26 dmeq 5061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  ( F  |`  B )  =  dom  (/) )
27 dm0 5074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (/)  =  (/)
2826, 27syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  ( F  |`  B )  =  (/) )
2925, 28sylan9req 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
30 limeq 4585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  (/)  ->  ( Lim 
B  <->  Lim  (/) ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  ( Lim  B  <->  Lim  (/) ) )
3213, 31mtbiri 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  -.  Lim  B )
3332ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  (
( F  |`  B )  =  (/)  ->  -.  Lim  B ) )
3412, 33mt2d 111 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  -.  ( F  |`  B )  =  (/) )
35 iffalse 3738 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( F  |`  B )  =  (/)  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim 
dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
37 limeq 4585 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( F  |`  B )  =  B  ->  ( Lim  dom  ( F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3825, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( Lim  dom  ( F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3912, 38mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  dom  ( F  |`  B ) )
40 iftrue 3737 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  ( F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
4236, 41eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
43 rnexg 5122 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  B )  e.  _V  ->  ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
44 uniexg 4697 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( F  |`  B )  e.  _V  ->  U. ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
4511, 43, 443syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  U. ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
4642, 45eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )
47 eqeq1 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( F  |`  B )  =  (/) ) )
48 dmeq 5061 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  dom  x  =  dom  ( F  |`  B ) )
49 limeq 4585 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  x  =  dom  ( F  |`  B )  -> 
( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  ( F  |`  B ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  ( F  |`  B ) ) )
51 rneq 5086 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ran  x  =  ran  ( F  |`  B ) )
5251unieqd 4018 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. ran  x  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
53 fveq1 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  x ) )
5448unieqd 4018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. dom  x  =  U. dom  ( F  |`  B ) )
5554fveq2d 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) )
5653, 55eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) )
5756fveq2d 5723 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( H `  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( H `
 ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )
5850, 52, 57ifbieq12d 3753 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) )  =  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
5947, 58ifbieq2d 3751 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `  U. dom  x ) ) ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
60 tz7.44.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
6159, 60fvmptg 5795 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  B )  e.  _V  /\  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
6211, 46, 61syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
6362, 42eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
647, 63eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
65 df-ima 4882 . . 3  |-  ( F
" B )  =  ran  ( F  |`  B )
6665unieqi 4017 . 2  |-  U. ( F " B )  = 
U. ran  ( F  |`  B )
6764, 66syl6eqr 2485 1  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   Ord word 4572   Lim wlim 4574   dom cdm 4869   ran crn 4870    |` cres 4871   "cima 4872    Fn wfn 5440   ` cfv 5445
This theorem is referenced by:  rdglimg  6674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-lim 4578  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-fv 5453
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