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Theorem tz7.44-3 6416
Description: The value of  F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
tz7.44.1  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
tz7.44.2  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
tz7.44.3  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
tz7.44.4  |-  F  Fn  X
tz7.44.5  |-  Ord  X
Assertion
Ref Expression
tz7.44-3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    y, G    x, H    y, X
Allowed substitution hints:    A( y)    G( x)    H( y)    X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3
StepHypRef Expression
1 fveq2 5485 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  B ) )
2 reseq2 4949 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
32fveq2d 5489 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( G `  ( F  |`  y ) )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
41, 3eqeq12d 2298 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  y ) )  <->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) ) )
5 tz7.44.2 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
64, 5vtoclga 2850 . . . 4  |-  ( B  e.  X  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
82eleq1d 2350 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
)  e.  _V  <->  ( F  |`  B )  e.  _V ) )
9 tz7.44.3 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
108, 9vtoclga 2850 . . . . . 6  |-  ( B  e.  X  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
1110adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
12 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  B )
13 nlim0 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  Lim  (/)
14 dmres 4975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (  F  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  F )
15 tz7.44.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  X
16 ordelss 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  X  /\  B  e.  X )  ->  B  C_  X )
1715, 16mpan 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  X  ->  B  C_  X )
1817adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_  X )
19 tz7.44.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
20 fndm 5308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
2119, 20ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  F  =  X
2218, 21syl6sseqr 3226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_ 
dom  F )
23 df-ss 3167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C_  dom  F  <->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2422, 23sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2514, 24syl5eq 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  dom  (  F  |`  B )  =  B )
26 dmeq 4878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  (  F  |`  B )  =  dom  (/) )
27 dm0 4891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (/)  =  (/)
2826, 27syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  (  F  |`  B )  =  (/) )
2925, 28sylan9req 2337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
30 limeq 4403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  (/)  ->  ( Lim 
B  <->  Lim  (/) ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  ( Lim  B  <->  Lim  (/) ) )
3213, 31mtbiri 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  -.  Lim  B )
3332ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  (
( F  |`  B )  =  (/)  ->  -.  Lim  B ) )
3412, 33mt2d 111 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  -.  ( F  |`  B )  =  (/) )
35 iffalse 3573 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( F  |`  B )  =  (/)  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) , 
U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) , 
U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim 
dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )
37 limeq 4403 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  (  F  |`  B )  =  B  ->  ( Lim  dom  (  F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3825, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( Lim  dom  (  F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3912, 38mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  dom  (  F  |`  B ) )
40 iftrue 3572 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  (  F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  (  F  |`  B ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  (  F  |`  B ) )
4236, 41eqtrd 2316 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )  =  U. ran  (  F  |`  B ) )
43 rnexg 4939 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  B )  e.  _V  ->  ran  (  F  |`  B )  e.  _V )
44 uniexg 4516 . . . . . . 7  |-  ( ran  (  F  |`  B )  e.  _V  ->  U. ran  (  F  |`  B )  e.  _V )
4511, 43, 443syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  U. ran  (  F  |`  B )  e.  _V )
4642, 45eqeltrd 2358 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )
47 eqeq1 2290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( F  |`  B )  =  (/) ) )
48 dmeq 4878 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  dom  x  =  dom  (  F  |`  B ) )
49 limeq 4403 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  x  =  dom  (  F  |`  B )  -> 
( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  (  F  |`  B ) ) )
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  (  F  |`  B ) ) )
51 rneq 4903 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ran  x  =  ran  (  F  |`  B ) )
5251unieqd 3839 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. ran  x  =  U. ran  (  F  |`  B ) )
53 fveq1 5484 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  x ) )
5448unieqd 3839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. dom  x  =  U. dom  (  F  |`  B ) )
5554fveq2d 5489 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) )
5653, 55eqtrd 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) )
5756fveq2d 5489 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( H `  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( H `
 ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) )
5850, 52, 57ifbieq12d 3588 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) )  =  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )
5947, 58ifbieq2d 3586 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `  U. dom  x ) ) ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) , 
U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) ) )
60 tz7.44.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
6159, 60fvmptg 5561 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  B )  e.  _V  /\  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) , 
U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) ) )
6211, 46, 61syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) ) )
6362, 42eqtrd 2316 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  = 
U. ran  (  F  |`  B ) )
647, 63eqtrd 2316 . 2  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ran  (  F  |`  B ) )
65 df-ima 4701 . . 3  |-  ( F
" B )  =  ran  (  F  |`  B )
6665unieqi 3838 . 2  |-  U. ( F " B )  = 
U. ran  (  F  |`  B )
6764, 66syl6eqr 2334 1  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688   _Vcvv 2789    i^i cin 3152    C_ wss 3153   (/)c0 3456   ifcif 3566   U.cuni 3828    e. cmpt 4078   Ord word 4390   Lim wlim 4392   dom cdm 4688   ran crn 4689    |` cres 4690   "cima 4691    Fn wfn 5216   ` cfv 5221
This theorem is referenced by:  rdglimg  6433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-lim 4396  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-fv 5229
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