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Theorem tz7.44-3 6375
Description: The value of  F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
tz7.44.1  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
tz7.44.2  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
tz7.44.3  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
tz7.44.4  |-  F  Fn  X
tz7.44.5  |-  Ord  X
Assertion
Ref Expression
tz7.44-3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    y, G    x, H    y, X
Allowed substitution hints:    A( y)    G( x)    H( y)    X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3
StepHypRef Expression
1 fveq2 5444 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  B ) )
2 reseq2 4924 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
32fveq2d 5448 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( G `  ( F  |`  y ) )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
41, 3eqeq12d 2270 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  y ) )  <->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) ) )
5 tz7.44.2 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
64, 5vtoclga 2817 . . . 4  |-  ( B  e.  X  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
82eleq1d 2322 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
)  e.  _V  <->  ( F  |`  B )  e.  _V ) )
9 tz7.44.3 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
108, 9vtoclga 2817 . . . . . 6  |-  ( B  e.  X  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
1110adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
12 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  B )
13 nlim0 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  Lim  (/)
14 dmres 4950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (  F  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  F )
15 tz7.44.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  X
16 ordelss 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  X  /\  B  e.  X )  ->  B  C_  X )
1715, 16mpan 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  X  ->  B  C_  X )
1817adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_  X )
19 tz7.44.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
20 fndm 5267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
2119, 20ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  F  =  X
2218, 21syl6sseqr 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_ 
dom  F )
23 df-ss 3127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C_  dom  F  <->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2422, 23sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2514, 24syl5eq 2300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  dom  (  F  |`  B )  =  B )
26 dmeq 4853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  (  F  |`  B )  =  dom  (/) )
27 dm0 4866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (/)  =  (/)
2826, 27syl6eq 2304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  (  F  |`  B )  =  (/) )
2925, 28sylan9req 2309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
30 limeq 4362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  (/)  ->  ( Lim 
B  <->  Lim  (/) ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  ( Lim  B  <->  Lim  (/) ) )
3213, 31mtbiri 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  -.  Lim  B )
3332ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  (
( F  |`  B )  =  (/)  ->  -.  Lim  B ) )
3412, 33mt2d 111 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  -.  ( F  |`  B )  =  (/) )
35 iffalse 3532 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( F  |`  B )  =  (/)  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) , 
U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) , 
U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim 
dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )
37 limeq 4362 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  (  F  |`  B )  =  B  ->  ( Lim  dom  (  F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3825, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( Lim  dom  (  F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3912, 38mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  dom  (  F  |`  B ) )
40 iftrue 3531 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  (  F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  (  F  |`  B ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  (  F  |`  B ) )
4236, 41eqtrd 2288 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )  =  U. ran  (  F  |`  B ) )
43 rnexg 4914 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  B )  e.  _V  ->  ran  (  F  |`  B )  e.  _V )
44 uniexg 4475 . . . . . . 7  |-  ( ran  (  F  |`  B )  e.  _V  ->  U. ran  (  F  |`  B )  e.  _V )
4511, 43, 443syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  U. ran  (  F  |`  B )  e.  _V )
4642, 45eqeltrd 2330 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )
47 eqeq1 2262 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( F  |`  B )  =  (/) ) )
48 dmeq 4853 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  dom  x  =  dom  (  F  |`  B ) )
49 limeq 4362 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  x  =  dom  (  F  |`  B )  -> 
( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  (  F  |`  B ) ) )
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  (  F  |`  B ) ) )
51 rneq 4878 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ran  x  =  ran  (  F  |`  B ) )
5251unieqd 3798 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. ran  x  =  U. ran  (  F  |`  B ) )
53 fveq1 5443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  x ) )
5448unieqd 3798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. dom  x  =  U. dom  (  F  |`  B ) )
5554fveq2d 5448 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) )
5653, 55eqtrd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) )
5756fveq2d 5448 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( H `  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( H `
 ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) )
5850, 52, 57ifbieq12d 3547 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) )  =  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )
5947, 58ifbieq2d 3545 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `  U. dom  x ) ) ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) , 
U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) ) )
60 tz7.44.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
6159, 60fvmptg 5520 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  B )  e.  _V  /\  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) , 
U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) ) )
6211, 46, 61syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  (  F  |`  B ) ,  U. ran  (  F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  (  F  |`  B ) ) ) ) ) )
6362, 42eqtrd 2288 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  = 
U. ran  (  F  |`  B ) )
647, 63eqtrd 2288 . 2  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ran  (  F  |`  B ) )
65 df-ima 4668 . . 3  |-  ( F
" B )  =  ran  (  F  |`  B )
6665unieqi 3797 . 2  |-  U. ( F " B )  = 
U. ran  (  F  |`  B )
6764, 66syl6eqr 2306 1  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2757    i^i cin 3112    C_ wss 3113   (/)c0 3416   ifcif 3525   U.cuni 3787    e. cmpt 4037   Ord word 4349   Lim wlim 4351   dom cdm 4647   ran crn 4648    |` cres 4649   "cima 4650    Fn wfn 4654   ` cfv 4659
This theorem is referenced by:  rdglimg  6392
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-lim 4355  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-fv 4675
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