MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz7.44-3 Unicode version

Theorem tz7.44-3 6437
Description: The value of  F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
tz7.44.1  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
tz7.44.2  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
tz7.44.3  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
tz7.44.4  |-  F  Fn  X
tz7.44.5  |-  Ord  X
Assertion
Ref Expression
tz7.44-3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    y, G    x, H    y, X
Allowed substitution hints:    A( y)    G( x)    H( y)    X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  B ) )
2 reseq2 4966 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
32fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( G `  ( F  |`  y ) )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
41, 3eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  y ) )  <->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) ) )
5 tz7.44.2 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
64, 5vtoclga 2862 . . . 4  |-  ( B  e.  X  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
82eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
)  e.  _V  <->  ( F  |`  B )  e.  _V ) )
9 tz7.44.3 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
108, 9vtoclga 2862 . . . . . 6  |-  ( B  e.  X  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
1110adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
12 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  B )
13 nlim0 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  Lim  (/)
14 dmres 4992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( F  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  F )
15 tz7.44.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  X
16 ordelss 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  X  /\  B  e.  X )  ->  B  C_  X )
1715, 16mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  X  ->  B  C_  X )
1817adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_  X )
19 tz7.44.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
20 fndm 5359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  F  =  X
2218, 21syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_ 
dom  F )
23 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C_  dom  F  <->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2422, 23sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2514, 24syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  dom  ( F  |`  B )  =  B )
26 dmeq 4895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  ( F  |`  B )  =  dom  (/) )
27 dm0 4908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (/)  =  (/)
2826, 27syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  ( F  |`  B )  =  (/) )
2925, 28sylan9req 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
30 limeq 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  (/)  ->  ( Lim 
B  <->  Lim  (/) ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  ( Lim  B  <->  Lim  (/) ) )
3213, 31mtbiri 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  -.  Lim  B )
3332ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  (
( F  |`  B )  =  (/)  ->  -.  Lim  B ) )
3412, 33mt2d 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  -.  ( F  |`  B )  =  (/) )
35 iffalse 3585 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( F  |`  B )  =  (/)  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim 
dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
37 limeq 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( F  |`  B )  =  B  ->  ( Lim  dom  ( F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3825, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( Lim  dom  ( F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3912, 38mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  dom  ( F  |`  B ) )
40 iftrue 3584 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  ( F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
4139, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
4236, 41eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
43 rnexg 4956 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  B )  e.  _V  ->  ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
44 uniexg 4533 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( F  |`  B )  e.  _V  ->  U. ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
4511, 43, 443syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  U. ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
4642, 45eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )
47 eqeq1 2302 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( F  |`  B )  =  (/) ) )
48 dmeq 4895 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  dom  x  =  dom  ( F  |`  B ) )
49 limeq 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  x  =  dom  ( F  |`  B )  -> 
( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  ( F  |`  B ) ) )
5048, 49syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  ( F  |`  B ) ) )
51 rneq 4920 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ran  x  =  ran  ( F  |`  B ) )
5251unieqd 3854 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. ran  x  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
53 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  x ) )
5448unieqd 3854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. dom  x  =  U. dom  ( F  |`  B ) )
5554fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) )
5653, 55eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) )
5756fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( H `  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( H `
 ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )
5850, 52, 57ifbieq12d 3600 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) )  =  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
5947, 58ifbieq2d 3598 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `  U. dom  x ) ) ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
60 tz7.44.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
6159, 60fvmptg 5616 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  B )  e.  _V  /\  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
6211, 46, 61syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
6362, 42eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
647, 63eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
65 df-ima 4718 . . 3  |-  ( F
" B )  =  ran  ( F  |`  B )
6665unieqi 3853 . 2  |-  U. ( F " B )  = 
U. ran  ( F  |`  B )
6764, 66syl6eqr 2346 1  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   Ord word 4407   Lim wlim 4409   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  rdglimg  6454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-lim 4413  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator