MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.12 Unicode version

Theorem tz9.12 7430
Description: A set is well-founded if all of its elements are well-founded. Proposition 9.12 of [TakeutiZaring] p. 78. The main proof consists of tz9.12lem1 7427 through tz9.12lem3 7429. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.12.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
tz9.12  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  E. y  e.  On  A  e.  ( R1 `  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem tz9.12
StepHypRef Expression
1 tz9.12.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 eqid 2258 . . . 4  |-  ( z  e.  _V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } )  =  ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } )
31, 2tz9.12lem2 7428 . . 3  |-  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A )  e.  On
43onsuci 4601 . 2  |-  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A )  e.  On
51, 2tz9.12lem3 7429 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A ) ) )
6 fveq2 5458 . . . 4  |-  ( y  =  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A )  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A ) ) )
76eleq2d 2325 . . 3  |-  ( y  =  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A )  ->  ( A  e.  ( R1 `  y )  <->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A ) ) ) )
87rcla4ev 2859 . 2  |-  ( ( suc  suc  U. (
( z  e.  _V  |->  |^|
{ v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } ) " A )  e.  On  /\  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A ) ) )  ->  E. y  e.  On  A  e.  ( R1 `  y ) )
94, 5, 8sylancr 647 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  E. y  e.  On  A  e.  ( R1 `  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   {crab 2522   _Vcvv 2763   U.cuni 3801   |^|cint 3836    e. cmpt 4051   Oncon0 4364   suc csuc 4366   "cima 4664   ` cfv 4673   R1cr1 7402
This theorem is referenced by:  tz9.13  7431  r1elss  7446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404
  Copyright terms: Public domain W3C validator