MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.12 Unicode version

Theorem tz9.12 7346
Description: A set is well-founded if all of its elements are well-founded. Proposition 9.12 of [TakeutiZaring] p. 78. The main proof consists of tz9.12lem1 7343 through tz9.12lem3 7345. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.12.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
tz9.12  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  E. y  e.  On  A  e.  ( R1 `  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem tz9.12
StepHypRef Expression
1 tz9.12.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 eqid 2253 . . . 4  |-  ( z  e.  _V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } )  =  ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } )
31, 2tz9.12lem2 7344 . . 3  |-  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A )  e.  On
43onsuci 4520 . 2  |-  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A )  e.  On
51, 2tz9.12lem3 7345 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A ) ) )
6 fveq2 5377 . . . 4  |-  ( y  =  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A )  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A ) ) )
76eleq2d 2320 . . 3  |-  ( y  =  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A )  ->  ( A  e.  ( R1 `  y )  <->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A ) ) ) )
87rcla4ev 2821 . 2  |-  ( ( suc  suc  U. (
( z  e.  _V  |->  |^|
{ v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } ) " A )  e.  On  /\  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( ( z  e. 
_V  |->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) } ) " A ) ) )  ->  E. y  e.  On  A  e.  ( R1 `  y ) )
94, 5, 8sylancr 647 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  E. y  e.  On  A  e.  ( R1 `  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2512   _Vcvv 2727   U.cuni 3727   |^|cint 3760    e. cmpt 3974   Oncon0 4285   suc csuc 4287   "cima 4583   ` cfv 4592   R1cr1 7318
This theorem is referenced by:  tz9.13  7347  r1elss  7362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320
  Copyright terms: Public domain W3C validator