Theorem tz9.12lem2 4670

Description: Lemma for tz9.12 4672.

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	|- A e. V
tz9.12lem.2	|- F = {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}}

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem2	|- suc U.(F"A) e. On

Distinct variable group:   z,w,v,A

Proof of Theorem tz9.12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.1	. . . 4 |- A e. V
2		tz9.12lem.2	. . . 4 |- F = {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}}
3	1, 2	tz9.12lem1 4669	. . 3 |- (F"A) (_ On
4		funopabeq 3555	. . . . . 6 |- Fun {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}}
5		funeq 3541	. . . . . . 7 |- (F = {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}} -> (Fun F <-> Fun {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}}))
6	2, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (Fun F <-> Fun {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}})
7	4, 6	mpbir 190	. . . . 5 |- Fun F
8	1	funimaex 3582	. . . . 5 |- (Fun F -> (F"A) e. V)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- (F"A) e. V
10	9	ssonuni 3001	. . 3 |- ((F"A) (_ On -> U.(F"A) e. On)
11	3, 10	ax-mp 7	. 2 |- U.(F"A) e. On
12	11	onsuc 3111	1 |- suc U.(F"A) e. On

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651  Vcvv 1814   (_ wss 2050  U.cuni 2507  |^|cint 2537  {copab 2671  Oncon0 2954  suc csuc 2956  "cima 3179  Fun wfun 3182  ` cfv 3188  R1cr1 4651

This theorem is referenced by:  tz9.12lem3 4671  tz9.12 4672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198

Copyright terms: Public domain