MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.13 Unicode version

Theorem tz9.13 7396
Description: Every set is well-founded, assuming the Axiom of Regularity. In other words, every set belongs to a layer of the cumulative hierarchy of sets. Proposition 9.13 of [TakeutiZaring] p. 78. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.13.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
tz9.13  |-  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem tz9.13
StepHypRef Expression
1 tz9.13.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 setind 7352 . . . 4  |-  ( A. z ( z  C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  z  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) } )  ->  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  =  _V )
3 ssel 3116 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  ( w  e.  z  ->  w  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) } ) )
4 vex 2743 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
5 eleq1 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  w  e.  ( R1 `  x ) ) )
65rexbidv 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  ( E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  w  e.  ( R1 `  x ) ) )
74, 6elab 2865 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  <->  E. x  e.  On  w  e.  ( R1 `  x ) )
83, 7syl6ib 219 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  ( w  e.  z  ->  E. x  e.  On  w  e.  ( R1 `  x ) ) )
98ralrimiv 2596 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  A. w  e.  z  E. x  e.  On  w  e.  ( R1 `  x
) )
10 vex 2743 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
1110tz9.12 7395 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  z  E. x  e.  On  w  e.  ( R1 `  x
)  ->  E. x  e.  On  z  e.  ( R1 `  x ) )
129, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( z 
C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  E. x  e.  On  z  e.  ( R1 `  x
) )
13 eleq1 2316 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  z  e.  ( R1 `  x ) ) )
1413rexbidv 2535 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  z  e.  ( R1 `  x ) ) )
1510, 14elab 2865 . . . . 5  |-  ( z  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  <->  E. x  e.  On  z  e.  ( R1 `  x ) )
1612, 15sylibr 205 . . . 4  |-  ( z 
C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  z  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) } )
172, 16mpg 1542 . . 3  |-  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  =  _V
181, 17eleqtrri 2329 . 2  |-  A  e. 
{ y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x
) }
19 eleq1 2316 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  A  e.  ( R1 `  x ) ) )
2019rexbidv 2535 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) ) )
211, 20elab 2865 . 2  |-  ( A  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
2218, 21mpbi 201 1  |-  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   Oncon0 4329   ` cfv 4638   R1cr1 7367
This theorem is referenced by:  tz9.13g  7397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-reg 7239  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-r1 7369
  Copyright terms: Public domain W3C validator