MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.13 Unicode version

Theorem tz9.13 7431
Description: Every set is well-founded, assuming the Axiom of Regularity. In other words, every set belongs to a layer of the cumulative hierarchy of sets. Proposition 9.13 of [TakeutiZaring] p. 78. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.13.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
tz9.13  |-  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem tz9.13
StepHypRef Expression
1 tz9.13.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 setind 7387 . . . 4  |-  ( A. z ( z  C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  z  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) } )  ->  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  =  _V )
3 ssel 3149 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  ( w  e.  z  ->  w  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) } ) )
4 vex 2766 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
5 eleq1 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  w  e.  ( R1 `  x ) ) )
65rexbidv 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  ( E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  w  e.  ( R1 `  x ) ) )
74, 6elab 2889 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  <->  E. x  e.  On  w  e.  ( R1 `  x ) )
83, 7syl6ib 219 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  ( w  e.  z  ->  E. x  e.  On  w  e.  ( R1 `  x ) ) )
98ralrimiv 2600 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  A. w  e.  z  E. x  e.  On  w  e.  ( R1 `  x
) )
10 vex 2766 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
1110tz9.12 7430 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  z  E. x  e.  On  w  e.  ( R1 `  x
)  ->  E. x  e.  On  z  e.  ( R1 `  x ) )
129, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( z 
C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  E. x  e.  On  z  e.  ( R1 `  x
) )
13 eleq1 2318 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  z  e.  ( R1 `  x ) ) )
1413rexbidv 2539 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  z  e.  ( R1 `  x ) ) )
1510, 14elab 2889 . . . . 5  |-  ( z  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  <->  E. x  e.  On  z  e.  ( R1 `  x ) )
1612, 15sylibr 205 . . . 4  |-  ( z 
C_  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  ->  z  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) } )
172, 16mpg 1542 . . 3  |-  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  =  _V
181, 17eleqtrri 2331 . 2  |-  A  e. 
{ y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x
) }
19 eleq1 2318 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  A  e.  ( R1 `  x ) ) )
2019rexbidv 2539 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) ) )
211, 20elab 2889 . 2  |-  ( A  e.  { y  |  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) }  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
2218, 21mpbi 201 1  |-  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   Oncon0 4364   ` cfv 4673   R1cr1 7402
This theorem is referenced by:  tz9.13g  7432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-reg 7274  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404
  Copyright terms: Public domain W3C validator