MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.13g Unicode version

Theorem tz9.13g 7418
Description: Every set is well-founded, assuming the Axiom of Regularity. Proposition 9.13 of [TakeutiZaring] p. 78. This variant of tz9.13 7417 expresses the class existence requirement as an antecedent. (Contributed by NM, 4-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
tz9.13g  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem tz9.13g
StepHypRef Expression
1 eleq1 2316 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  A  e.  ( R1 `  x ) ) )
21rexbidv 2537 . 2  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) ) )
3 vex 2760 . . 3  |-  y  e. 
_V
43tz9.13 7417 . 2  |-  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x )
52, 4vtoclg 2811 1  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2517   Oncon0 4350   ` cfv 4659   R1cr1 7388
This theorem is referenced by:  elhf2  24166
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-reg 7260  ax-inf2 7296
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-r1 7390
  Copyright terms: Public domain W3C validator