Theorem tz9.13g 4651

Description: Every set is well-founded, assuming the Axiom of Regularity. Proposition 9.13 of [TakeutiZaring] p. 78. This variant of tz9.13 4650 expresses the class existence requirement as an antecedent.

Assertion

Ref	Expression
tz9.13g	|- (A e. B -> E.x e. On A e. (R1` x))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem tz9.13g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 970	. . 3 |- (y = A -> A.x y = A)
2		eleq1 1533	. . 3 |- (y = A -> (y e. (R1` x) <-> A e. (R1` x)))
3	1, 2	rexbid 1661	. 2 |- (y = A -> (E.x e. On y e. (R1` x) <-> E.x e. On A e. (R1` x)))
4		visset 1811	. . 3 |- y e. V
5	4	tz9.13 4650	. 2 |- E.x e. On y e. (R1` x)
6	3, 5	vtoclg 1845	1 |- (A e. B -> E.x e. On A e. (R1` x))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  E.wrex 1645  Oncon0 2945  ` cfv 3179  R1cr1 4628

This theorem is referenced by:  rankwflem 4652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-r1 4630

Copyright terms: Public domain