MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubth Unicode version

Theorem ubth 21398
Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let  T be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector 
x, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubth.3  |-  M  =  ( U normOp OLD W
)
Assertion
Ref Expression
ubth  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )
Distinct variable groups:    x, c,
t, d, N    T, c, d, t, x    U, c, d, t, x    W, c, d, t, x    X, c, d, t, x
Allowed substitution hints:    M( x, t, c, d)

Proof of Theorem ubth
StepHypRef Expression
1 oveq1 5785 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  BLnOp  W )  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W ) )
21sseq2d 3167 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  <->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  W ) ) )
3 ubth.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 fveq2 5444 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
53, 4syl5eq 2300 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
65raleqdv 2713 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
7 ubth.3 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( U normOp OLD W
)
8 oveq1 5785 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U normOp OLD W
)  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) )
97, 8syl5eq 2300 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  M  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) )
109fveq1d 5446 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( M `  t
)  =  ( ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t ) )
1110breq1d 3993 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( M `  t )  <_  d  <->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )
1211rexralbidv 2560 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )
136, 12bibi12d 314 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d )  <->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) ) )
142, 13imbi12d 313 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )  <->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) ) ) )
15 oveq2 5786 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  =  ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
1615sseq2d 3167 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  W )  <->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) )
17 ubth.2 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  W )
18 fveq2 5444 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( normCV `  W )  =  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
1917, 18syl5eq 2300 . . . . . . . . 9  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  N  =  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
2019fveq1d 5446 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( N `  (
t `  x )
)  =  ( (
normCV
`  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) ) )
2120breq1d 3993 . . . . . . 7  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) )  <_ 
c ) )
2221rexralbidv 2560 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  (
( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) )  <_ 
c ) )
2322ralbidv 2536 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c )
)
24 oveq2 5786 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W )  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2524fveq1d 5446 . . . . . . 7  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  =  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )
)
2625breq1d 3993 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) `  t )  <_  d  <->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
2726rexralbidv 2560 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) `  t )  <_  d  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
2823, 27bibi12d 314 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
)  <->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) ) )
2916, 28imbi12d 313 . . 3  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  C_  ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )  <->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) ) ) )
30 eqid 2256 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
31 eqid 2256 . . . 4  |-  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
normCV
`  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
32 eqid 2256 . . . 4  |-  ( IndMet `  if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( IndMet `  if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
33 eqid 2256 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )  =  (
MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
34 eqid 2256 . . . . . 6  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
3534cnbn 21394 . . . . 5  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e. 
CBan
3635elimel 3577 . . . 4  |-  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CBan
37 elimnvu 21199 . . . 4  |-  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
38 id 21 . . . 4  |-  ( T 
C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
3930, 31, 32, 33, 36, 37, 38ubthlem3 21397 . . 3  |-  ( T 
C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
4014, 29, 39dedth2h 3567 . 2  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) ) )
41403impia 1153 1  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517    C_ wss 3113   ifcif 3525   <.cop 3603   class class class wbr 3983   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   RRcr 8690    + caddc 8694    x. cmul 8696    <_ cle 8822   abscabs 11670   MetOpencmopn 16320   NrmCVeccnv 21086   BaseSetcba 21088   normCVcnmcv 21092   IndMetcims 21093   normOp OLDcnmoo 21265    BLnOp cblo 21266   CBanccbn 21387
This theorem is referenced by:  htthlem  21443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-dc 8026  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-lm 16907  df-haus 16991  df-cmp 17062  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-fcls 17584  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-cfil 18629  df-cau 18630  df-cmet 18631  df-grpo 20804  df-gid 20805  df-ginv 20806  df-gdiv 20807  df-ablo 20895  df-vc 21048  df-nv 21094  df-va 21097  df-ba 21098  df-sm 21099  df-0v 21100  df-vs 21101  df-nmcv 21102  df-ims 21103  df-lno 21268  df-nmoo 21269  df-blo 21270  df-0o 21271  df-cbn 21388
  Copyright terms: Public domain W3C validator