MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubth Unicode version

Theorem ubth 21444
Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let  T be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector 
x, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubth.3  |-  M  =  ( U normOp OLD W
)
Assertion
Ref Expression
ubth  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )
Distinct variable groups:    x, c,
t, d, N    T, c, d, t, x    U, c, d, t, x    W, c, d, t, x    X, c, d, t, x
Allowed substitution hints:    M( x, t, c, d)

Proof of Theorem ubth
StepHypRef Expression
1 oveq1 5826 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  BLnOp  W )  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W ) )
21sseq2d 3207 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  <->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  W ) ) )
3 ubth.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 fveq2 5485 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
53, 4syl5eq 2328 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
65raleqdv 2743 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
7 ubth.3 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( U normOp OLD W
)
8 oveq1 5826 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U normOp OLD W
)  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) )
97, 8syl5eq 2328 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  M  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) )
109fveq1d 5487 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( M `  t
)  =  ( ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t ) )
1110breq1d 4034 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( M `  t )  <_  d  <->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )
1211rexralbidv 2588 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )
136, 12bibi12d 314 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d )  <->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) ) )
142, 13imbi12d 313 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )  <->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) ) ) )
15 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  =  ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
1615sseq2d 3207 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  W )  <->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) )
17 ubth.2 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  W )
18 fveq2 5485 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( normCV `  W )  =  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
1917, 18syl5eq 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  N  =  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
2019fveq1d 5487 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( N `  (
t `  x )
)  =  ( (
normCV
`  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) ) )
2120breq1d 4034 . . . . . . 7  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) )  <_ 
c ) )
2221rexralbidv 2588 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  (
( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) )  <_ 
c ) )
2322ralbidv 2564 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c )
)
24 oveq2 5827 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W )  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2524fveq1d 5487 . . . . . . 7  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  =  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )
)
2625breq1d 4034 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) `  t )  <_  d  <->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
2726rexralbidv 2588 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) `  t )  <_  d  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
2823, 27bibi12d 314 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
)  <->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) ) )
2916, 28imbi12d 313 . . 3  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  C_  ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )  <->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) ) ) )
30 eqid 2284 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
31 eqid 2284 . . . 4  |-  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
normCV
`  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
32 eqid 2284 . . . 4  |-  ( IndMet `  if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( IndMet `  if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
33 eqid 2284 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )  =  (
MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
34 eqid 2284 . . . . . 6  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
3534cnbn 21440 . . . . 5  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e. 
CBan
3635elimel 3618 . . . 4  |-  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CBan
37 elimnvu 21245 . . . 4  |-  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
38 id 21 . . . 4  |-  ( T 
C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
3930, 31, 32, 33, 36, 37, 38ubthlem3 21443 . . 3  |-  ( T 
C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
4014, 29, 39dedth2h 3608 . 2  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) ) )
41403impia 1150 1  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   ifcif 3566   <.cop 3644   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   RRcr 8731    + caddc 8735    x. cmul 8737    <_ cle 8863   abscabs 11713   MetOpencmopn 16366   NrmCVeccnv 21132   BaseSetcba 21134   normCVcnmcv 21138   IndMetcims 21139   normOp OLDcnmoo 21311    BLnOp cblo 21312   CBanccbn 21433
This theorem is referenced by:  htthlem  21489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-dc 8067  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-lm 16953  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-fcls 17630  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-cfil 18675  df-cau 18676  df-cmet 18677  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-gdiv 20853  df-ablo 20941  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-vs 21147  df-nmcv 21148  df-ims 21149  df-lno 21314  df-nmoo 21315  df-blo 21316  df-0o 21317  df-cbn 21434
  Copyright terms: Public domain W3C validator