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Theorem ubthlem1 21465
Description: Lemma for ubth 21468. The function  A exhibits a countable collection of sets that are closed, being the inverse image under  t of the closed ball of radius  k, and by assumption they cover  X. Thus, by the Baire Category theorem bcth2 18768, for some  n the set  A `  n has an interior, meaning that there is a closed ball  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r } in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
ubthlem.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
ubthlem.9  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
Assertion
Ref Expression
ubthlem1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
Distinct variable groups:    k, c, n, r, x, y, z, A    t, c, D, k, n, r, x, z    k, J, n   
y, t, J, x    N, c, k, n, r, t, x, y, z    ph, c, k, n, r, t, x, y    T, c, k, n, r, t, x, y, z    U, c, n, r, t, x, y, z    W, c, n, r, t, x, y    X, c, k, n, r, t, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( t)    D( y)    U( k)    J( z, r, c)    W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem1
StepHypRef Expression
1 rzal 3568 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  (/)  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
)
21ralrimivw 2640 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  (/)  ->  A. z  e.  X  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
)
3 rabid2 2730 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k } 
<-> 
A. z  e.  X  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k )
42, 3sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( T  =  (/)  ->  X  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
54eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( T  =  (/)  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  X )
65eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( T  =  (/)  ->  ( { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  ( Clsd `  J )  <->  X  e.  ( Clsd `  J
) ) )
7 iinrab 3980 . . . . . . 7  |-  ( T  =/=  (/)  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `
 ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
87adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
9 id 19 . . . . . . 7  |-  ( T  =/=  (/)  ->  T  =/=  (/) )
10 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
1110sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
12 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  =  ( IndMet `  U )
13 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
14 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
15 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)
16 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
17 ubthlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U  e. 
CBan
18 bnnv 21461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U  e.  NrmCVec
20 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  W  e.  NrmCVec
2112, 13, 14, 15, 16, 19, 20blocn2 21402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) )
22 ubth.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2322, 12cbncms 21460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
2417, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  D  e.  ( CMet `  X
)
25 cmetmet 18728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
26 metxmet 17915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2724, 25, 26mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  D  e.  ( * Met `  X
)
2814mopntopon 18001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  J  e.  (TopOn `  X )
30 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
3130, 13imsxmet 21277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
3220, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )
3315mopntopon 18001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet
`  W ) ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
)
35 iscncl 17014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  <->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) ) )
3629, 34, 35mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) ( `' t
" x )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3721, 36sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
3811, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
3938simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
4039adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
41 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
4240, 41sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
4342biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  x )
)  <_  k  <->  ( (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )
) )
44 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( t `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( t `  x
) ) )
4544breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( t `  x )  ->  (
( N `  y
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
4645elrab 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t `  x )  e.  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } 
<->  ( ( t `  x )  e.  (
BaseSet `  W )  /\  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
4743, 46syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  x )
)  <_  k  <->  ( t `  x )  e.  {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) )
4847pm5.32da 622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
( x  e.  X  /\  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )  <->  ( x  e.  X  /\  ( t `  x
)  e.  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } ) ) )
49 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
t `  z )  =  ( t `  x ) )
5049fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  x )
) )
5150breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
5251elrab 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 ( t `  z ) )  <_ 
k }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
k ) )
5352a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
k ) ) )
54 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : X --> ( BaseSet `  W )  ->  t  Fn  X )
55 elpreima 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' t " { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } )  <->  ( x  e.  X  /\  (
t `  x )  e.  { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) ) )
5640, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  ( `' t " { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } )  <->  ( x  e.  X  /\  (
t `  x )  e.  { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) ) )
5748, 53, 563bitr4d 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  <->  x  e.  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) ) )
5857eqrdv 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  =  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) )
59 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
6059ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR )
6160rexrd 8897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR* )
62 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
6330, 62nvzcl 21208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
6420, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W )
65 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( normCV `  W )
6630, 62, 65, 13nvnd 21273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  y )  =  ( y ( IndMet `  W
) ( 0vec `  W
) ) )
6720, 66mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( N `  y )  =  ( y ( IndMet `  W
) ( 0vec `  W
) ) )
68 xmetsym 17928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( 0vec `  W ) (
IndMet `  W ) y )  =  ( y ( IndMet `  W )
( 0vec `  W )
) )
6932, 64, 68mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( ( 0vec `  W ) (
IndMet `  W ) y )  =  ( y ( IndMet `  W )
( 0vec `  W )
) )
7067, 69eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( N `  y )  =  ( ( 0vec `  W
) ( IndMet `  W
) y ) )
7170breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( ( N `  y )  <_  k  <->  ( ( 0vec `  W ) ( IndMet `  W ) y )  <_  k ) )
7271rabbiia 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  =  {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( ( 0vec `  W
) ( IndMet `  W
) y )  <_ 
k }
7315, 72blcld 18067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  k  e.  RR* )  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7432, 64, 73mp3an12 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  RR*  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7561, 74syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7638simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
7776adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
78 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  ->  ( `' t
" x )  =  ( `' t " { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) )
7978eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  ->  ( ( `' t " x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( `' t
" { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } )  e.  (
Clsd `  J )
) )
8079rspcv 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )  ->  ( `' t " { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
8175, 77, 80sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } )  e.  ( Clsd `  J
) )
8258, 81eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  ( Clsd `  J )
)
8382ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
84 iincld 16792 . . . . . . 7  |-  ( ( T  =/=  (/)  /\  A. t  e.  T  {
z  e.  X  | 
( N `  (
t `  z )
)  <_  k }  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
859, 83, 84syl2anr 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
868, 85eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
8714mopntop 18002 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
8827, 87ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  J  e. 
Top
8929toponunii 16686 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
9089topcld 16788 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
9188, 90ax-mp 8 . . . . . 6  |-  X  e.  ( Clsd `  J
)
9291a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
936, 86, 92pm2.61ne 2534 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
94 ubthlem.9 . . . 4  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
9593, 94fmptd 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN --> ( Clsd `  J ) )
96 frn 5411 . . . . . . 7  |-  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  ->  ran  A 
C_  ( Clsd `  J
) )
9795, 96syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  ( Clsd `  J ) )
9889cldss2 16783 . . . . . 6  |-  ( Clsd `  J )  C_  ~P X
9997, 98syl6ss 3204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  ~P X )
100 sspwuni 4003 . . . . 5  |-  ( ran 
A  C_  ~P X  <->  U.
ran  A  C_  X )
10199, 100sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  A  C_  X )
102 ubthlem.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
103 arch 9978 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  c  <  k
)
104103adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  c  <  k
)
105 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  c  e.  RR )
106 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( c  <  k  ->  c  <_  k )
)
107105, 59, 106syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  c  <_  k ) )
108107impr 602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  -> 
c  <_  k )
109108adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  c  <_  k )
11039, 41sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
111110an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  t  e.  T )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
11230, 65nvcl 21241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
11320, 111, 112sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  e.  RR )
114113adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  t  e.  T
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
115114adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  (
t `  x )
)  e.  RR )
116 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  c  e.  RR )
117 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  NN )
118117, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR )
119 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N `  (
t `  x )
)  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  /\  c  <_  k )  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
120115, 116, 118, 119syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( ( N `
 ( t `  x ) )  <_ 
c  /\  c  <_  k )  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
121109, 120mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )
)
122121ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
123122expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
124 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
12522, 124eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  e. 
_V
126125rabex 4181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  _V
12794fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  _V )  ->  ( A `
 k )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
128126, 127mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
129128eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  x  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } ) )
13051ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
131130elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k } 
<->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
132129, 131syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
133 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
134133biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k  <->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
135134bicomd 192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k )  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
136132, 135sylan9bbr 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
137 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  ->  A  Fn  NN )
13895, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN )
139138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  Fn  NN )
140 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  e.  ran  A
)
141 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A `  k )  e.  ran  A  -> 
( A `  k
)  C_  U. ran  A
)
142140, 141syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  C_  U. ran  A
)
143142sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( A `  k )  ->  x  e.  U. ran  A ) )
144139, 143sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  ->  x  e.  U. ran  A
) )
145136, 144sylbird 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k  ->  x  e.  U. ran  A ) )
146145adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k  ->  x  e.  U. ran  A ) )
147123, 146syl6d 64 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  ->  x  e.  U.
ran  A ) ) )
148147rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  ( E. k  e.  NN  c  <  k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) ) )
149104, 148mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) )
150149rexlimdva 2680 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) )
151150ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  A. x  e.  X  x  e.  U. ran  A
) )
152102, 151mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  x  e.  U. ran  A
)
153 dfss3 3183 . . . . 5  |-  ( X 
C_  U. ran  A  <->  A. x  e.  X  x  e.  U.
ran  A )
154152, 153sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ran  A
)
155101, 154eqssd 3209 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  A  =  X )
156 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
15722, 156nvzcl 21208 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
158 ne0i 3474 . . . . 5  |-  ( (
0vec `  U )  e.  X  ->  X  =/=  (/) )
15919, 157, 158mp2b 9 . . . 4  |-  X  =/=  (/)
16014bcth2 18768 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  A  =  X ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  =/=  (/) )
16124, 159, 160mpanl12 663 . . 3  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  A  =  X )  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) )
16295, 155, 161syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) )
163 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  ( Clsd `  J
) )
16498, 163sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  ~P X )
165 elpwi 3646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A `  n )  e.  ~P X  -> 
( A `  n
)  C_  X )
166164, 165syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  C_  X )
16795, 166sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  X )
16889ntrss3 16813 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  C_  X )
16988, 167, 168sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  X )
170169sseld 3192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  X ) )
17189ntropn 16802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J )
17288, 167, 171sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  e.  J )
17314mopni2 18055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  e.  J  /\  y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
x )  C_  (
( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )
17427, 173mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
) )
175172, 174sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
) )
176 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  ->  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) )  C_  U. J )
177176, 89syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  ->  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) )  C_  X )
178172, 177syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  X )
179178sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  y  e.  X
)
18089ntrss2 16810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  C_  ( A `  n ) )
18188, 167, 180sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  ( A `  n ) )
182 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  C_  ( A `  n )  ->  (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( A `  n ) ) )
183181, 182syl5com 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n ) ) )
184183ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n ) ) )
185 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
186185, 27jctil 523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X )
)
187 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
188187rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e. 
RR* )
189 rpxr 10377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
190 rphalflt 10396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  < 
x )
191188, 189, 1903jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( x  /  2 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( x  /  2 )  < 
x ) )
192 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  =  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) }
19314, 192blsscls2 18066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( x  /  2
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( x  /  2 )  < 
x ) )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) }  C_  ( y
( ball `  D )
x ) )
194186, 191, 193syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  { z  e.  X  |  (
y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( y ( ball `  D ) x ) )
195 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( y (
ball `  D )
x )  ->  (
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( A `  n ) ) )
196194, 195syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( A `  n )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
( x  /  2
) }  C_  ( A `  n )
) )
197187adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
198 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( y D z )  <_  r  <->  ( y D z )  <_ 
( x  /  2
) ) )
199198rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  =  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) } )
200199sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  ( { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n )  <->  { z  e.  X  |  (
y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( A `  n ) ) )
201200rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR+  /\  {
z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
202201ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
203197, 202syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( {
z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
204184, 196, 2033syld 51 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
205204rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
206179, 205syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
x )  C_  (
( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
207175, 206mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n
) )
208207ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
209170, 208jcad 519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) ) )
210209eximdv 1612 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. y  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. y ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) ) )
211 n0 3477 . . . 4  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) 
<->  E. y  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )
212 df-rex 2562 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n )  <->  E. y ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
213210, 211, 2123imtr4g 261 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
214213reximdva 2668 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  =/=  (/)  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
215162, 214mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|_ciin 3922   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   ran crn 4706   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769   intcnt 16770    Cn ccn 16970   CMetcms 18696   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   0veccn0v 21160   normCVcnmcv 21162   IndMetcims 21163    BLnOp cblo 21336   CBanccbn 21457
This theorem is referenced by:  ubthlem3  21467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-dc 8088  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lm 16975  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-lno 21338  df-nmoo 21339  df-blo 21340  df-0o 21341  df-cbn 21458
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