Theorem ubthlem1 8525

Description: Lemma for ubthi 8540. Membership in A` k, the set of all vectors (T` n)` z whose norm is less than k.

Hypotheses

Ref	Expression
ubthlem1.1	|- X = (Base` U)
ubthlem1.11	|- A = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j})}

Assertion

Ref	Expression
ubthlem1	|- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> (P e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k)))

Distinct variable groups:   h,j,n,y,z,N   P,h,n,z   T,h,j,n,y,z   j,X,y,z   h,k,j,n,y,z

Proof of Theorem ubthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2628	. . . . . . 7 |- (j = k -> ((N` ((T` h)` z)) <_ j <-> (N` ((T` h)` z)) <_ k))
2	1	ralbidv 1666	. . . . . 6 |- (j = k -> (A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j <-> A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k))
3	2	rabbisdv 1810	. . . . 5 |- (j = k -> {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j} = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k})
4		ubthlem1.11	. . . . 5 |- A = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j})}
5		ubthlem1.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
6		fvex 3738	. . . . . . 7 |- (Base` U) e. V
7	5, 6	eqeltr 1547	. . . . . 6 |- X e. V
8	7	rabex 2730	. . . . 5 |- {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k} e. V
9	3, 4, 8	fvopab4 3786	. . . 4 |- (k e. NN -> (A` k) = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k})
10	9	eleq2d 1544	. . 3 |- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> P e. {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k}))
11		fveq2 3730	. . . . . . 7 |- (z = P -> ((T` h)` z) = ((T` h)` P))
12	11	fveq2d 3734	. . . . . 6 |- (z = P -> (N` ((T` h)` z)) = (N` ((T` h)` P)))
13	12	breq1d 2634	. . . . 5 |- (z = P -> ((N` ((T` h)` z)) <_ k <-> (N` ((T` h)` P)) <_ k))
14	13	ralbidv 1666	. . . 4 |- (z = P -> (A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k <-> A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k))
15	14	elrab 1908	. . 3 |- (P e. {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k} <-> (P e. X /\ A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k))
16	10, 15	syl6bb 538	. 2 |- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> (P e. X /\ A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k)))
17		fveq2 3730	. . . . . . 7 |- (h = n -> (T` h) = (T` n))
18	17	fveq1d 3732	. . . . . 6 |- (h = n -> ((T` h)` P) = ((T` n)` P))
19	18	fveq2d 3734	. . . . 5 |- (h = n -> (N` ((T` h)` P)) = (N` ((T` n)` P)))
20	19	breq1d 2634	. . . 4 |- (h = n -> ((N` ((T` h)` P)) <_ k <-> (N` ((T` n)` P)) <_ k))
21	20	cbvralv 1803	. . 3 |- (A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k <-> A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k)
22	21	anbi2i 482	. 2 |- ((P e. X /\ A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k) <-> (P e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k))
23	16, 22	syl6bb 538	1 |- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> (P e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  {crab 1651  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  {copab 2671  ` cfv 3188   <_ cle 5307  NNcn 5308  Basecba 8201

This theorem is referenced by:  ubthlem2 8526  ubthlem3 8527  ubthlem4 8528  ubthlem5 8529  ubthlem10 8534  ubthlem11 8535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain