Theorem ubthlem4 8528

Description: Lemma for ubthi 8540. The set A` k is therefore closed by metcld 7964. (The hypothesis U e. CBan could be weakened to U e. NrmCVec.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubthlem4.1	|- X = (Base` U)
ubthlem4.2	|- Y = (Base` W)
ubthlem4.3	|- N = (norm` W)
ubthlem4.5	|- B = (U BLnOp W)
ubthlem4.6	|- T:NN-->B
ubthlem4.7	|- U e. CBan
ubthlem4.8	|- W e. NrmCVec
ubthlem4.9	|- D = (IndMet` U)
ubthlem4.10	|- J = (Open` D)
ubthlem4.11	|- A = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j})}

Assertion

Ref	Expression
ubthlem4	|- (k e. NN -> (A` k) e. (Clsd` J))

Distinct variable groups:   A,k   D,k   k,J   h,j,k,y,z,N   T,h,j,k,y,z   j,X,k,y,z

Proof of Theorem ubthlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ubthlem4.7	. . . . . . . . 9 |- U e. CBan
2		bnnv 8522	. . . . . . . . 9 |- (U e. CBan -> U e. NrmCVec)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- U e. NrmCVec
4		ubthlem4.1	. . . . . . . . 9 |- X = (Base` U)
5		ubthlem4.9	. . . . . . . . 9 |- D = (IndMet` U)
6		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- x e. V
7	4, 5, 6	nvlmcl 8328	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ f(~~>m` D)x) -> x e. X)
8	3, 7	mpan 697	. . . . . . 7 |- (f(~~>m` D)x -> x e. X)
9	8	ad2antll 409	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ (f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x)) -> x e. X)
10		ubthlem4.2	. . . . . . . . . 10 |- Y = (Base` W)
11		ubthlem4.3	. . . . . . . . . 10 |- N = (norm` W)
12		ubthlem4.5	. . . . . . . . . 10 |- B = (U BLnOp W)
13		ubthlem4.6	. . . . . . . . . 10 |- T:NN-->B
14		ubthlem4.8	. . . . . . . . . 10 |- W e. NrmCVec
15		eqid 1478	. . . . . . . . . 10 |- (IndMet` W) = (IndMet` W)
16		ubthlem4.11	. . . . . . . . . 10 |- A = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j})}
17		eqid 1478	. . . . . . . . . 10 |- {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = ((T` n)` (f` m)))} = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = ((T` n)` (f` m)))}
18	4, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 5, 15, 16, 17	ubthlem3 8527	. . . . . . . . 9 |- (((f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x) /\ (k e. NN /\ n e. NN)) -> (N` ((T` n)` x)) <_ k)
19	18	ancoms 438	. . . . . . . 8 |- (((k e. NN /\ n e. NN) /\ (f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x)) -> (N` ((T` n)` x)) <_ k)
20	19	an1rs 491	. . . . . . 7 |- (((k e. NN /\ (f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x)) /\ n e. NN) -> (N` ((T` n)` x)) <_ k)
21	20	r19.21aiva 1717	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ (f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x)) -> A.n e. NN (N` ((T` n)` x)) <_ k)
22	9, 21	jca 288	. . . . 5 |- ((k e. NN /\ (f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x)) -> (x e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` x)) <_ k))
23	22	ex 373	. . . 4 |- (k e. NN -> ((f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x) -> (x e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` x)) <_ k)))
24	4, 16	ubthlem1 8525	. . . 4 |- (k e. NN -> (x e. (A` k) <-> (x e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` x)) <_ k)))
25	23, 24	sylibrd 204	. . 3 |- (k e. NN -> ((f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x) -> x e. (A` k)))
26	25	19.21aivv 1289	. 2 |- (k e. NN -> A.xA.f((f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x) -> x e. (A` k)))
27	4, 16	ubthlem2 8526	. . 3 |- (k e. NN -> (A` k) (_ X)
28	5	imsmet 8320	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> D e. Met)
29	3, 28	ax-mp 7	. . . 4 |- D e. Met
30	4, 5, 3	imsbai 8318	. . . . 5 |- X = dom dom D
31		ubthlem4.10	. . . . 5 |- J = (Open` D)
32	30, 31	metcld 7964	. . . 4 |- ((D e. Met /\ (A` k) (_ X) -> ((A` k) e. (Clsd` J) <-> A.xA.f((f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x) -> x e. (A` k))))
33	29, 32	mpan 697	. . 3 |- ((A` k) (_ X -> ((A` k) e. (Clsd` J) <-> A.xA.f((f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x) -> x e. (A` k))))
34	27, 33	syl 10	. 2 |- (k e. NN -> ((A` k) e. (Clsd` J) <-> A.xA.f((f:NN-->(A` k) /\ f(~~>m` D)x) -> x e. (A` k))))
35	26, 34	mpbird 196	1 |- (k e. NN -> (A` k) e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  {crab 1651   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  {copab 2671  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969   <_ cle 5307  NNcn 5308  Clsdccld 7657  Metcme 7786  Opencopn 7789  ~~>mclm 7916  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  normcnm 8205  IndMetcims 8206   BLnOp cblo 8399  CBancbn 8518

This theorem is referenced by:  ubthlem6 8530

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-top 7594  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-nei 7710  df-lp 7738  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-lno 8401  df-nmo 8402  df-blo 8403  df-0o 8404  df-bn 8519

Copyright terms: Public domain