Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffixfr Structured version   Unicode version

Theorem uffixfr 17960
 Description: An ultrafilter is either fixed or free. A fixed ultrafilter is called principal (generated by a single element ), and a free ultrafilter is called nonprincipal (having empty intersection). Note that examples of free ultrafilters cannot be defined in ZFC without some form of global choice. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffixfr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem uffixfr
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3
2 ufilfil 17941 . . . . . . . 8
3 filtop 17892 . . . . . . . 8
42, 3syl 16 . . . . . . 7
54adantr 453 . . . . . 6
6 filn0 17899 . . . . . . . . 9
7 intssuni 4074 . . . . . . . . 9
82, 6, 73syl 19 . . . . . . . 8
9 filunibas 17918 . . . . . . . . 9
102, 9syl 16 . . . . . . . 8
118, 10sseqtrd 3386 . . . . . . 7
1211sselda 3350 . . . . . 6
13 uffix 17958 . . . . . 6
145, 12, 13syl2anc 644 . . . . 5
1514simprd 451 . . . 4
1614simpld 447 . . . . 5
17 fgcl 17915 . . . . 5
1816, 17syl 16 . . . 4
1915, 18eqeltrd 2512 . . 3
202adantr 453 . . . . 5
21 filsspw 17888 . . . . 5
2220, 21syl 16 . . . 4
23 elintg 4060 . . . . . 6
2423ibi 234 . . . . 5
2524adantl 454 . . . 4
26 ssrab 3423 . . . 4
2722, 25, 26sylanbrc 647 . . 3
28 ufilmax 17944 . . 3
291, 19, 27, 28syl3anc 1185 . 2
30 eqimss 3402 . . . . 5
3130adantl 454 . . . 4
3226simprbi 452 . . . 4
3331, 32syl 16 . . 3
34 eleq2 2499 . . . . . 6
3534biimpac 474 . . . . 5
364, 35sylan 459 . . . 4
37 eleq2 2499 . . . . . 6
3837elrab 3094 . . . . 5
3938simprbi 452 . . . 4
40 elintg 4060 . . . 4
4136, 39, 403syl 19 . . 3
4233, 41mpbird 225 . 2
4329, 42impbida 807 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  crab 2711   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  csn 3816  cuni 4017  cint 4052  cfv 5457  (class class class)co 6084  cfbas 16694  cfg 16695  cfil 17882  cufil 17936 This theorem is referenced by:  uffix2  17961  uffixsn  17962 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-fil 17883  df-ufil 17938
 Copyright terms: Public domain W3C validator