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Theorem unbenlem 12903
Description: Lemma for unben 12904. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
unbenlem.1  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
unbenlem  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  om )
Distinct variable groups:    m, n, A    m, G, n
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)

Proof of Theorem unbenlem
StepHypRef Expression
1 nnex 9706 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
21ssex 4118 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  e. 
_V )
3 1z 10006 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4 unbenlem.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
53, 4om2uzf1oi 10968 . . . . . . 7  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
6 nnuz 10216 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 f1oeq3 5389 . . . . . . . 8  |-  ( NN  =  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( G : om -1-1-onto-> NN  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
) )
86, 7ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
)
95, 8mpbir 202 . . . . . 6  |-  G : om
-1-1-onto-> NN
10 f1ocnv 5409 . . . . . 6  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  `' G : NN -1-1-onto-> om )
11 f1of1 5395 . . . . . 6  |-  ( `' G : NN -1-1-onto-> om  ->  `' G : NN -1-1-> om )
129, 10, 11mp2b 11 . . . . 5  |-  `' G : NN -1-1-> om
13 f1ores 5411 . . . . 5  |-  ( ( `' G : NN -1-1-> om  /\  A  C_  NN )  ->  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
1412, 13mpan 654 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
15 f1oeng 6834 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
162, 14, 15syl2anc 645 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
1716adantr 453 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
18 imassrn 4999 . . . 4  |-  ( `' G " A ) 
C_  ran  `'  G
19 dfdm4 4846 . . . . 5  |-  dom  G  =  ran  `'  G
20 f1of 5396 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  G : om
--> NN )
219, 20ax-mp 10 . . . . . 6  |-  G : om
--> NN
2221fdmi 5318 . . . . 5  |-  dom  G  =  om
2319, 22eqtr3i 2278 . . . 4  |-  ran  `'  G  =  om
2418, 23sseqtri 3171 . . 3  |-  ( `' G " A ) 
C_  om
253, 4om2uzuzi 10964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625, 6syl6eleqr 2347 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  NN )
27 breq1 3986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  y )  ->  (
m  <  n  <->  ( G `  y )  <  n
) )
2827rexbidv 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( G `  y )  ->  ( E. n  e.  A  m  <  n  <->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
2928rcla4v 2848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
3026, 29syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
3130adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n ) )
32 f1ocnv 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A )  ->  `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  NN  ->  `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
34 f1ofun 5398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  Fun  G )
359, 34ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  G
36 funcnvres2 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
G  ->  `' ( `' G  |`  A )  =  ( G  |`  ( `' G " A ) ) )
37 f1oeq1 5387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( `' G  |`  A )  =  ( G  |`  ( `' G " A ) )  ->  ( `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  <->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A ) )
3835, 36, 37mp2b 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  <-> 
( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
3933, 38sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
40 f1ofo 5403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -onto-> A )
41 forn 5378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -onto-> A  ->  ran  (  G  |`  ( `' G " A ) )  =  A )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ran  (  G  |`  ( `' G " A ) )  =  A )
4342eleq2d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  ran  (  G  |`  ( `' G " A ) )  <->  n  e.  A
) )
44 f1ofn 5397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) )  Fn  ( `' G " A ) )
45 fvelrnb 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) )  Fn  ( `' G " A )  ->  (
n  e.  ran  (  G  |`  ( `' G " A ) )  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  ran  (  G  |`  ( `' G " A ) )  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n ) )
4743, 46bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  A  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n ) )
4839, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( n  e.  A  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )
4948biimpa 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  A )  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )
50 fvres 5461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  (
( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  ( G `  m ) )
5150eqeq1d 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  (
( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n  <->  ( G `  m )  =  n ) )
5251biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  ( `' G " A )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n )  ->  ( G `  m )  =  n )
5352adantll 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )  ->  ( G `  m )  =  n )
5424sseli 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  m  e.  om )
553, 4om2uzlt2i 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  ( G `  m ) ) )
5654, 55sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  ->  ( y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  ( G `  m )
) )
57 breq2 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  m )  =  n  ->  (
( G `  y
)  <  ( G `  m )  <->  ( G `  y )  <  n
) )
5856, 57sylan9bb 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( G `
 m )  =  n )  ->  (
y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  n
) )
5953, 58syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )  ->  (
y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  n
) )
6059biimparc 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  ( ( y  e. 
om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )  -> 
y  e.  m )
6160exp44 599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  y )  <  n  ->  (
y  e.  om  ->  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  ( ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n  ->  y  e.  m ) ) ) )
6261imp31 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G `  y )  <  n  /\  y  e.  om )  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  ->  ( (
( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n  ->  y  e.  m ) )
6362reximdva 2628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  y  e.  om )  ->  ( E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6449, 63syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  A
)  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6564exp4b 593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  y )  <  n  ->  (
y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  ( n  e.  A  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) ) )
6665com4l 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  (
n  e.  A  -> 
( ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) ) )
6766imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( n  e.  A  ->  ( ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
6867rexlimdv 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6931, 68syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
7069ex 425 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
7170com3l 77 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  ( y  e. 
om  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
7271imp 420 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  ( y  e.  om  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
7372ralrimiv 2598 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A. y  e.  om  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m )
74 unbnn3 7313 . . 3  |-  ( ( ( `' G " A )  C_  om  /\  A. y  e.  om  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m )  -> 
( `' G " A )  ~~  om )
7524, 73, 74sylancr 647 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  ( `' G " A )  ~~  om )
76 entr 6867 . 2  |-  ( ( A  ~~  ( `' G " A )  /\  ( `' G " A )  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
7717, 75, 76syl2anc 645 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   omcom 4614   `'ccnv 4646   dom cdm 4647   ran crn 4648    |` cres 4649   "cima 4650   Fun wfun 4653    Fn wfn 4654   -->wf 4655   -1-1->wf1 4656   -onto->wfo 4657   -1-1-onto->wf1o 4658   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   reccrdg 6376    ~~ cen 6814   1c1 8692    + caddc 8694    < clt 8821   NNcn 9700   ZZ>=cuz 10183
This theorem is referenced by:  unben  12904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184
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