Theorem unblem2 4687

Description: Lemma for unbnn 4690. The value of the function F belongs to the unbounded set of natural numbers A.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem2	|- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,A   z,F,w,v

Proof of Theorem unblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3835	. . . 4 |- (z = (/) -> (F` z) = (F` (/)))
2	1	eleq1d 1583	. . 3 |- (z = (/) -> ((F` z) e. A <-> (F` (/)) e. A))
3		fveq2 3835	. . . 4 |- (z = u -> (F` z) = (F` u))
4	3	eleq1d 1583	. . 3 |- (z = u -> ((F` z) e. A <-> (F` u) e. A))
5		fveq2 3835	. . . 4 |- (z = suc u -> (F` z) = (F` suc u))
6	5	eleq1d 1583	. . 3 |- (z = suc u -> ((F` z) e. A <-> (F` suc u) e. A))
7		onint 3152	. . . . 5 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. A)
8		omsson 3223	. . . . . 6 |- om (_ On
9		sstr 2124	. . . . . 6 |- ((A (_ om /\ om (_ On) -> A (_ On)
10	8, 9	mpan2 700	. . . . 5 |- (A (_ om -> A (_ On)
11		peano1 3237	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
12		eleq1 1577	. . . . . . . . . . 11 |- (w = (/) -> (w e. v <-> (/) e. v))
13	12	rexbidv 1710	. . . . . . . . . 10 |- (w = (/) -> (E.v e. A w e. v <-> E.v e. A (/) e. v))
14	13	rcla4v 1919	. . . . . . . . 9 |- ((/) e. om -> (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v e. A (/) e. v))
15	11, 14	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v e. A (/) e. v)
16		df-rex 1696	. . . . . . . 8 |- (E.v e. A (/) e. v <-> E.v(v e. A /\ (/) e. v))
17	15, 16	sylib 196	. . . . . . 7 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v(v e. A /\ (/) e. v))
18		pm3.26 317	. . . . . . . 8 |- ((v e. A /\ (/) e. v) -> v e. A)
19	18	19.22i 1076	. . . . . . 7 |- (E.v(v e. A /\ (/) e. v) -> E.v v e. A)
20	17, 19	syl 10	. . . . . 6 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v v e. A)
21		n0 2341	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.v v e. A)
22	20, 21	sylibr 198	. . . . 5 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> A =/= (/))
23	7, 10, 22	syl2an 456	. . . 4 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> |^|A e. A)
24		fr0g 4253	. . . . . . 7 |- (|^|A e. A -> ((rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)` (/)) = |^|A)
25		unblem.2	. . . . . . . 8 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
26	25	fveq1i 3836	. . . . . . 7 |- (F` (/)) = ((rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)` (/))
27	24, 26	syl5req 1563	. . . . . 6 |- (|^|A e. A -> |^|A = (F` (/)))
28	27	eleq1d 1583	. . . . 5 |- (|^|A e. A -> (|^|A e. A <-> (F` (/)) e. A))
29	28	ibi 595	. . . 4 |- (|^|A e. A -> (F` (/)) e. A)
30	23, 29	syl 10	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (F` (/)) e. A)
31		ax-17 1007	. . . . . . . . . 10 |- (w e. |^|A -> A.x w e. |^|A)
32		ax-17 1007	. . . . . . . . . 10 |- (w e. u -> A.x w e. u)
33		ax-17 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. A -> A.x w e. A)
34		unblem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. F -> A.x w e. F)
35	34, 32	hbfv 3840	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. (F` u) -> A.x w e. (F` u))
36	35	hbsuc 3044	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. suc (F` u) -> A.x w e. suc (F` u))
37	33, 36	hbdif 2213	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. (A \ suc (F` u)) -> A.x w e. (A \ suc (F` u)))
38	37	hbint 2610	. . . . . . . . . 10 |- (w e. |^|(A \ suc (F` u)) -> A.x w e. |^|(A \ suc (F` u)))
39		suceq 3038	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (F` u) -> suc x = suc (F` u))
40	39	difeq2d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (F` u) -> (A \ suc x) = (A \ suc (F` u)))
41	40	inteqd 2605	. . . . . . . . . 10 |- (x = (F` u) -> |^|(A \ suc x) = |^|(A \ suc (F` u)))
42	31, 32, 38, 25, 41	frsucopab 4255	. . . . . . . . 9 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> (F` suc u) = |^|(A \ suc (F` u)))
43	42	eqcomd 1523	. . . . . . . 8 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> |^|(A \ suc (F` u)) = (F` suc u))
44	43	eleq1d 1583	. . . . . . 7 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A <-> (F` suc u) e. A))
45	44	ex 371	. . . . . 6 |- (u e. om -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A <-> (F` suc u) e. A)))
46	45	ibd 597	. . . . 5 |- (u e. om -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A -> (F` suc u) e. A))
47		unblem1 4686	. . . . 5 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` u) e. A) -> |^|(A \ suc (F` u)) e. A)
48	46, 47	syl5 21	. . . 4 |- (u e. om -> (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` u) e. A) -> (F` suc u) e. A))
49	48	exp3a 374	. . 3 |- (u e. om -> ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> ((F` u) e. A -> (F` suc u) e. A)))
50	2, 4, 6, 30, 49	finds2 3246	. 2 |- (z e. om -> ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (F` z) e. A))
51	50	com12 11	1 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221  A.wal 990   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016   =/= wne 1628  A.wral 1691  E.wrex 1692   \ cdif 2096   (_ wss 2099  (/)c0 2332  |^|cint 2600  {copab 2740  Oncon0 2975  suc csuc 2977  omcom 3218   |` cres 3253  ` cfv 3263  reccrdg 4232

This theorem is referenced by:  unblem3 4688  unblem4 4689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-rdg 4233

Copyright terms: Public domain