Theorem unblem2 4518

Description: Lemma for unbnn 4521. The value of the function F belongs to the unbounded set of natural numbers A.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem2	|- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,A   z,F,w,v

Proof of Theorem unblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3709	. . . 4 |- (z = (/) -> (F` z) = (F` (/)))
2	1	eleq1d 1532	. . 3 |- (z = (/) -> ((F` z) e. A <-> (F` (/)) e. A))
3		fveq2 3709	. . . 4 |- (z = u -> (F` z) = (F` u))
4	3	eleq1d 1532	. . 3 |- (z = u -> ((F` z) e. A <-> (F` u) e. A))
5		fveq2 3709	. . . 4 |- (z = suc u -> (F` z) = (F` suc u))
6	5	eleq1d 1532	. . 3 |- (z = suc u -> ((F` z) e. A <-> (F` suc u) e. A))
7		onint 2996	. . . . 5 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. A)
8		omsson 3126	. . . . . 6 |- om (_ On
9		sstr 2062	. . . . . 6 |- ((A (_ om /\ om (_ On) -> A (_ On)
10	8, 9	mpan2 694	. . . . 5 |- (A (_ om -> A (_ On)
11		peano1 3139	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
12		eleq1 1526	. . . . . . . . . . 11 |- (w = (/) -> (w e. v <-> (/) e. v))
13	12	rexbidv 1656	. . . . . . . . . 10 |- (w = (/) -> (E.v e. A w e. v <-> E.v e. A (/) e. v))
14	13	rcla4v 1864	. . . . . . . . 9 |- ((/) e. om -> (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v e. A (/) e. v))
15	11, 14	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v e. A (/) e. v)
16		df-rex 1642	. . . . . . . 8 |- (E.v e. A (/) e. v <-> E.v(v e. A /\ (/) e. v))
17	15, 16	sylib 198	. . . . . . 7 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v(v e. A /\ (/) e. v))
18		pm3.26 319	. . . . . . . 8 |- ((v e. A /\ (/) e. v) -> v e. A)
19	18	19.22i 1036	. . . . . . 7 |- (E.v(v e. A /\ (/) e. v) -> E.v v e. A)
20	17, 19	syl 10	. . . . . 6 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v v e. A)
21		ne0 2278	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.v v e. A)
22	20, 21	sylibr 200	. . . . 5 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> A =/= (/))
23	7, 10, 22	syl2an 454	. . . 4 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> |^|A e. A)
24		fr0t 3937	. . . . . . 7 |- (|^|A e. A -> ((rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)` (/)) = |^|A)
25		unblem.2	. . . . . . . 8 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
26	25	fveq1i 3710	. . . . . . 7 |- (F` (/)) = ((rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)` (/))
27	24, 26	syl5req 1512	. . . . . 6 |- (|^|A e. A -> |^|A = (F` (/)))
28	27	eleq1d 1532	. . . . 5 |- (|^|A e. A -> (|^|A e. A <-> (F` (/)) e. A))
29	28	ibi 590	. . . 4 |- (|^|A e. A -> (F` (/)) e. A)
30	23, 29	syl 10	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (F` (/)) e. A)
31		ax-17 968	. . . . . . . . . 10 |- (w e. |^|A -> A.x w e. |^|A)
32		ax-17 968	. . . . . . . . . 10 |- (w e. u -> A.x w e. u)
33		ax-17 968	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. A -> A.x w e. A)
34		unblem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. F -> A.x w e. F)
35	34, 32	hbfv 3714	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. (F` u) -> A.x w e. (F` u))
36	35	hbsuc 3030	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. suc (F` u) -> A.x w e. suc (F` u))
37	33, 36	hbdif 2151	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. (A \ suc (F` u)) -> A.x w e. (A \ suc (F` u)))
38	37	hbint 2533	. . . . . . . . . 10 |- (w e. |^|(A \ suc (F` u)) -> A.x w e. |^|(A \ suc (F` u)))
39		suceq 3024	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (F` u) -> suc x = suc (F` u))
40	39	difeq2d 2149	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (F` u) -> (A \ suc x) = (A \ suc (F` u)))
41	40	inteqd 2528	. . . . . . . . . 10 |- (x = (F` u) -> |^|(A \ suc x) = |^|(A \ suc (F` u)))
42	31, 32, 38, 25, 41	frsucopab 3939	. . . . . . . . 9 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> (F` suc u) = |^|(A \ suc (F` u)))
43	42	eqcomd 1472	. . . . . . . 8 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> |^|(A \ suc (F` u)) = (F` suc u))
44	43	eleq1d 1532	. . . . . . 7 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A <-> (F` suc u) e. A))
45	44	ex 373	. . . . . 6 |- (u e. om -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A <-> (F` suc u) e. A)))
46	45	ibd 592	. . . . 5 |- (u e. om -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A -> (F` suc u) e. A))
47		unblem1 4517	. . . . 5 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` u) e. A) -> |^|(A \ suc (F` u)) e. A)
48	46, 47	syl5 21	. . . 4 |- (u e. om -> (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` u) e. A) -> (F` suc u) e. A))
49	48	exp3a 375	. . 3 |- (u e. om -> ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> ((F` u) e. A -> (F` suc u) e. A)))
50	2, 4, 6, 30, 49	finds2 3148	. 2 |- (z e. om -> ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (F` z) e. A))
51	50	com12 11	1 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638   \ cdif 2034   (_ wss 2037  (/)c0 2270  |^|cint 2523  {copab 2656  Oncon0 2938  suc csuc 2940  omcom 3121   |` cres 3162  ` cfv 3172  reccrdg 3916

This theorem is referenced by:  unblem3 4519  unblem4 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917

Copyright terms: Public domain