Theorem unblem4 4520

Description: Lemma for unbnn 4521. The function F maps the set of natural numbers one-to-one to the set of unbounded natural numbers A.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem4	|- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-1-1->A)

Distinct variable groups:   x,y,w,v,A   w,F,v

Proof of Theorem unblem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmo 4241	. 2 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.z e. om (F` z) e. (F` suc z)) -> F:om-1-1->A)
2		omsson 3126	. . . . 5 |- om (_ On
3		sstr 2062	. . . . 5 |- ((A (_ om /\ om (_ On) -> A (_ On)
4	2, 3	mpan2 694	. . . 4 |- (A (_ om -> A (_ On)
5	4	adantr 389	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A (_ On)
6		unblem.1	. . . . . 6 |- (w e. F -> A.x w e. F)
7		unblem.2	. . . . . 6 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
8	6, 7	unblem2 4518	. . . . 5 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))
9	8	r19.21aiv 1705	. . . 4 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A.z e. om (F` z) e. A)
10		frfnom 3936	. . . . . 6 |- (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om
11		fneq1 3568	. . . . . . 7 |- (F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) -> (F Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om))
12	7, 11	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (F Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om)
13	10, 12	mpbir 190	. . . . 5 |- F Fn om
14		ffnfv 3813	. . . . . 6 |- (F:om-->A <-> (F Fn om /\ A.z e. om (F` z) e. A))
15	14	biimpr 152	. . . . 5 |- ((F Fn om /\ A.z e. om (F` z) e. A) -> F:om-->A)
16	13, 15	mpan 693	. . . 4 |- (A.z e. om (F` z) e. A -> F:om-->A)
17	9, 16	syl 10	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-->A)
18	5, 17	jca 288	. 2 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (A (_ On /\ F:om-->A))
19	6, 7	unblem3 4519	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. (F` suc z)))
20	19	r19.21aiv 1705	. 2 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A.z e. om (F` z) e. (F` suc z))
21	1, 18, 20	sylanc 471	1 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-1-1->A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638   \ cdif 2034   (_ wss 2037  |^|cint 2523  {copab 2656  Oncon0 2938  suc csuc 2940  omcom 3121   |` cres 3162   Fn wfn 3167  -->wf 3168  -1-1->wf1 3169  ` cfv 3172  reccrdg 3916

This theorem is referenced by:  unbnn 4521

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fv 3188  df-rdg 3917

Copyright terms: Public domain