MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbndrank Unicode version

Theorem unbndrank 7447
Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
unbndrank  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbndrank
StepHypRef Expression
1 rankon 7400 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  y )  e.  On
2 ontri1 4363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank `  y
)  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( rank `  y
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  y
) ) )
31, 2mpan 654 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  y )
) )
43ralbidv 2534 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  <->  A. y  e.  A  -.  x  e.  ( rank `  y ) ) )
5 ralnex 2524 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  -.  x  e.  ( rank `  y )  <->  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y )
)
64, 5syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  <->  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y )
) )
76rexbiia 2547 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x 
<->  E. x  e.  On  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y ) )
8 rexnal 2525 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
)  <->  -.  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  (
rank `  y )
)
97, 8bitri 242 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x 
<->  -.  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  (
rank `  y )
)
10 bndrank 7446 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V )
119, 10sylbir 206 . 2  |-  ( -. 
A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
)  ->  A  e.  _V )
1211con1i 123 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   Oncon0 4329   ` cfv 4638   rankcrnk 7368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-reg 7239  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-r1 7369  df-rank 7370
  Copyright terms: Public domain W3C validator