MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbndrank Unicode version

Theorem unbndrank 7482
Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
unbndrank  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbndrank
StepHypRef Expression
1 rankon 7435 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  y )  e.  On
2 ontri1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank `  y
)  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( rank `  y
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  y
) ) )
31, 2mpan 654 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  y )
) )
43ralbidv 2538 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  <->  A. y  e.  A  -.  x  e.  ( rank `  y ) ) )
5 ralnex 2528 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  -.  x  e.  ( rank `  y )  <->  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y )
)
64, 5syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  <->  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y )
) )
76rexbiia 2551 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x 
<->  E. x  e.  On  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y ) )
8 rexnal 2529 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
)  <->  -.  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  (
rank `  y )
)
97, 8bitri 242 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x 
<->  -.  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  (
rank `  y )
)
10 bndrank 7481 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V )
119, 10sylbir 206 . 2  |-  ( -. 
A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
)  ->  A  e.  _V )
1211con1i 123 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   Oncon0 4364   ` cfv 4673   rankcrnk 7403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-reg 7274  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404  df-rank 7405
  Copyright terms: Public domain W3C validator