MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbnn Unicode version

Theorem unbnn 7067
Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. Part of the proof of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. See unbnn3 7313 for a stronger version without the first assumption. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
unbnn  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~~  om )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbnn
StepHypRef Expression
1 ssdomg 6861 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  C_  om  ->  A  ~<_  om ) )
21imp 420 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om )  ->  A  ~<_  om )
323adant3 980 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~<_  om )
4 simp1 960 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  om  e.  _V )
5 ssexg 4120 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  om  /\  om  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
65ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om )  ->  A  e.  _V )
763adant3 980 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  e.  _V )
8 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om )
98unblem4 7066 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)
1093adant1 978 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)
11 f1dom2g 6833 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)  ->  om  ~<_  A )
124, 7, 10, 11syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  om  ~<_  A )
13 sbth 6935 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  om  ~<_  A )  ->  A  ~~  om )
143, 12, 13syl2anc 645 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    \ cdif 3110    C_ wss 3113   |^|cint 3822   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   suc csuc 4352   omcom 4614    |` cres 4649   -1-1->wf1 4656   reccrdg 6376    ~~ cen 6814    ~<_ cdom 6815
This theorem is referenced by:  unbnn2  7068  isfinite2  7069  unbnn3  7313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-en 6818  df-dom 6819
  Copyright terms: Public domain W3C validator