MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbnn Unicode version

Theorem unbnn 7108
Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. Part of the proof of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. See unbnn3 7354 for a stronger version without the first assumption. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
unbnn  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~~  om )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbnn
StepHypRef Expression
1 ssdomg 6902 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  C_  om  ->  A  ~<_  om ) )
21imp 420 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om )  ->  A  ~<_  om )
323adant3 980 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~<_  om )
4 simp1 960 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  om  e.  _V )
5 ssexg 4161 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  om  /\  om  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
65ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om )  ->  A  e.  _V )
763adant3 980 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  e.  _V )
8 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om )
98unblem4 7107 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)
1093adant1 978 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)
11 f1dom2g 6874 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)  ->  om  ~<_  A )
124, 7, 10, 11syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  om  ~<_  A )
13 sbth 6976 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  om  ~<_  A )  ->  A  ~~  om )
143, 12, 13syl2anc 645 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    e. wcel 1688   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    \ cdif 3150    C_ wss 3153   |^|cint 3863   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   suc csuc 4393   omcom 4655    |` cres 4690   -1-1->wf1 5218   reccrdg 6417    ~~ cen 6855    ~<_ cdom 6856
This theorem is referenced by:  unbnn2  7109  isfinite2  7110  unbnn3  7354
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-en 6859  df-dom 6860
  Copyright terms: Public domain W3C validator