Theorem unbnn 4521

Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. Part of the proof of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. See unbnnt 4611 for a stronger version without the hypothesis.

Hypothesis

Ref	Expression
unbnn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
unbnn	|- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem unbnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 4437	. 2 |- ((A ~<_ om /\ om ~<_ A) -> A ~~ om)
2		unbnn.1	. . . 4 |- A e. V
3		ssdomg 4389	. . . 4 |- (A e. V -> (A (_ om -> A ~<_ om))
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- (A (_ om -> A ~<_ om)
5	4	adantr 389	. 2 |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~<_ om)
6		hbopab1 2802	. . . . . 6 |- (x e. {<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)} -> A.z x e. {<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)})
7		ax-17 968	. . . . . 6 |- (x e. |^|A -> A.z x e. |^|A)
8	6, 7	hbrdg 3921	. . . . 5 |- (x e. rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) -> A.z x e. rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A))
9		ax-17 968	. . . . 5 |- (x e. om -> A.z x e. om)
10	8, 9	hbres 3354	. . . 4 |- (x e. (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om) -> A.z x e. (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om))
11		eqid 1468	. . . 4 |- (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om) = (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om)
12	10, 11	unblem4 4520	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om):om-1-1->A)
13		f1dom2g 4378	. . . 4 |- (A e. V -> ((rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om):om-1-1->A -> om ~<_ A))
14	2, 13	ax-mp 7	. . 3 |- ((rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om):om-1-1->A -> om ~<_ A)
15	12, 14	syl 10	. 2 |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> om ~<_ A)
16	1, 5, 15	sylanc 471	1 |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   \ cdif 2034   (_ wss 2037  |^|cint 2523   class class class wbr 2609  {copab 2656  suc csuc 2940  omcom 3121   |` cres 3162  -1-1->wf1 3169  reccrdg 3916   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349

This theorem is referenced by:  unbnn2 4522  isfinite2 4523  unbnnt 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-en 4351  df-dom 4352

Copyright terms: Public domain