Theorem unbnnt 4626

Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. This version of unbnn 4534 eliminates its hypothesis by assuming the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
unbnnt	|- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem unbnnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4614	. . . 4 |- om e. V
2	1	ssex 2716	. . 3 |- (A (_ om -> A e. V)
3		sseq1 2080	. . . . . . 7 |- (z = A -> (z (_ om <-> A (_ om))
4		rexeq1 1786	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (E.y e. z x e. y <-> E.y e. A x e. y))
5	4	ralbidv 1662	. . . . . . 7 |- (z = A -> (A.x e. om E.y e. z x e. y <-> A.x e. om E.y e. A x e. y))
6	3, 5	anbi12d 627	. . . . . 6 |- (z = A -> ((z (_ om /\ A.x e. om E.y e. z x e. y) <-> (A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y)))
7		breq1 2619	. . . . . 6 |- (z = A -> (z ~~ om <-> A ~~ om))
8	6, 7	imbi12d 625	. . . . 5 |- (z = A -> (((z (_ om /\ A.x e. om E.y e. z x e. y) -> z ~~ om) <-> ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)))
9		visset 1811	. . . . . 6 |- z e. V
10	9	unbnn 4534	. . . . 5 |- ((z (_ om /\ A.x e. om E.y e. z x e. y) -> z ~~ om)
11	8, 10	vtoclg 1845	. . . 4 |- (A e. V -> ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om))
12	11	exp3a 375	. . 3 |- (A e. V -> (A (_ om -> (A.x e. om E.y e. A x e. y -> A ~~ om)))
13	2, 12	mpcom 49	. 2 |- (A (_ om -> (A.x e. om E.y e. A x e. y -> A ~~ om))
14	13	imp 350	1 |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645  Vcvv 1809   (_ wss 2045   class class class wbr 2616  omcom 3128   ~~ cen 4361

This theorem is referenced by:  unbenlem 7483

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-en 4364  df-dom 4365

Copyright terms: Public domain