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Theorem uncld 17095
Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
uncld  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem uncld
StepHypRef Expression
1 difundi 3585 . . 3  |-  ( U. J  \  ( A  u.  B ) )  =  ( ( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )
2 cldrcl 17080 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
4 eqid 2435 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
54cldopn 17085 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  A )  e.  J )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  A )  e.  J )
74cldopn 17085 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
87adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
9 inopn 16962 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  A
)  e.  J  /\  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  ( ( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )  e.  J )
103, 6, 8, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )  e.  J )
111, 10syl5eqel 2519 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  ( A  u.  B )
)  e.  J )
124cldss 17083 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
134cldss 17083 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  U. J
)
1412, 13anim12i 550 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  C_  U. J  /\  B  C_  U. J ) )
15 unss 3513 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U. J  /\  B  C_  U. J )  <-> 
( A  u.  B
)  C_  U. J )
1614, 15sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  C_ 
U. J )
174iscld2 17082 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  U. J )  ->  ( ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  ( A  u.  B
) )  e.  J
) )
183, 16, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( A  u.  B ) )  e.  J ) )
1911, 18mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Topctop 16948   Clsdccld 17070
This theorem is referenced by:  iscldtop  17149  paste  17348  lpcls  17418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-top 16953  df-cld 17073
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