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Theorem uncld 16884
Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
uncld  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem uncld
StepHypRef Expression
1 difundi 3497 . . 3  |-  ( U. J  \  ( A  u.  B ) )  =  ( ( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )
2 cldrcl 16869 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
4 eqid 2358 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
54cldopn 16874 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  A )  e.  J )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  A )  e.  J )
74cldopn 16874 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
87adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
9 inopn 16751 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  A
)  e.  J  /\  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  ( ( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )  e.  J )
103, 6, 8, 9syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )  e.  J )
111, 10syl5eqel 2442 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  ( A  u.  B )
)  e.  J )
124cldss 16872 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
134cldss 16872 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  U. J
)
1412, 13anim12i 549 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  C_  U. J  /\  B  C_  U. J ) )
15 unss 3425 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U. J  /\  B  C_  U. J )  <-> 
( A  u.  B
)  C_  U. J )
1614, 15sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  C_ 
U. J )
174iscld2 16871 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  U. J )  ->  ( ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  ( A  u.  B
) )  e.  J
) )
183, 16, 17syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( A  u.  B ) )  e.  J ) )
1911, 18mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1710    \ cdif 3225    u. cun 3226    i^i cin 3227    C_ wss 3228   U.cuni 3908   ` cfv 5337   Topctop 16737   Clsdccld 16859
This theorem is referenced by:  iscldtop  16938  paste  17128  lpcls  17198
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-fv 5345  df-top 16742  df-cld 16862
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