MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncld Unicode version

Theorem uncld 16780
Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
uncld  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem uncld
StepHypRef Expression
1 difundi 3423 . . 3  |-  ( U. J  \  ( A  u.  B ) )  =  ( ( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )
2 cldrcl 16765 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
4 eqid 2285 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
54cldopn 16770 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  A )  e.  J )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  A )  e.  J )
74cldopn 16770 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
87adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
9 inopn 16647 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  A
)  e.  J  /\  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  ( ( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )  e.  J )
103, 6, 8, 9syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )  e.  J )
111, 10syl5eqel 2369 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  ( A  u.  B )
)  e.  J )
124cldss 16768 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
134cldss 16768 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  U. J
)
1412, 13anim12i 549 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  C_  U. J  /\  B  C_  U. J ) )
15 unss 3351 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U. J  /\  B  C_  U. J )  <-> 
( A  u.  B
)  C_  U. J )
1614, 15sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  C_ 
U. J )
174iscld2 16767 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  U. J )  ->  ( ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  ( A  u.  B
) )  e.  J
) )
183, 16, 17syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( A  u.  B ) )  e.  J ) )
1911, 18mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1686    \ cdif 3151    u. cun 3152    i^i cin 3153    C_ wss 3154   U.cuni 3829   ` cfv 5257   Topctop 16633   Clsdccld 16755
This theorem is referenced by:  iscldtop  16834  paste  17024  lpcls  17094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-fv 5265  df-top 16638  df-cld 16758
  Copyright terms: Public domain W3C validator