Theorem uncld 7678

Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93.

Assertion

Ref	Expression
uncld	|- ((J e. Top /\ A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J)) -> (A u. B) e. (Clsd` J))

Proof of Theorem uncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . . . . . 8 |- U.J = U.J
2	1	cldopn 7669	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ A e. (Clsd` J)) -> (U.J \ A) e. J)
3	1	cldopn 7669	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ B e. (Clsd` J)) -> (U.J \ B) e. J)
4	2, 3	anim12i 333	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ A e. (Clsd` J)) /\ (J e. Top /\ B e. (Clsd` J))) -> ((U.J \ A) e. J /\ (U.J \ B) e. J))
5	4	anandis 514	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> ((U.J \ A) e. J /\ (U.J \ B) e. J))
6		inopnt 7601	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (U.J \ A) e. J /\ (U.J \ B) e. J) -> ((U.J \ A) i^i (U.J \ B)) e. J)
7	6	3expb 836	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ ((U.J \ A) e. J /\ (U.J \ B) e. J)) -> ((U.J \ A) i^i (U.J \ B)) e. J)
8	5, 7	syldan 469	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> ((U.J \ A) i^i (U.J \ B)) e. J)
9		difundi 2260	. . . 4 |- (U.J \ (A u. B)) = ((U.J \ A) i^i (U.J \ B))
10	8, 9	syl5eqel 1555	. . 3 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> (U.J \ (A u. B)) e. J)
11	1	cldss 7668	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ A e. (Clsd` J)) -> A (_ U.J)
12	1	cldss 7668	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ B e. (Clsd` J)) -> B (_ U.J)
13	11, 12	anim12i 333	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ A e. (Clsd` J)) /\ (J e. Top /\ B e. (Clsd` J))) -> (A (_ U.J /\ B (_ U.J))
14	13	anandis 514	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> (A (_ U.J /\ B (_ U.J))
15		unss 2207	. . . . 5 |- ((A (_ U.J /\ B (_ U.J) <-> (A u. B) (_ U.J)
16	14, 15	sylib 198	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> (A u. B) (_ U.J)
17	1	iscld2 7667	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (A u. B) (_ U.J) -> ((A u. B) e. (Clsd` J) <-> (U.J \ (A u. B)) e. J))
18	16, 17	syldan 469	. . 3 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> ((A u. B) e. (Clsd` J) <-> (U.J \ (A u. B)) e. J))
19	10, 18	mpbird 196	. 2 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> (A u. B) e. (Clsd` J))
20	19	3impb 831	1 |- ((J e. Top /\ A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J)) -> (A u. B) e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960   \ cdif 2047   u. cun 2048   i^i cin 2049   (_ wss 2050  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  Clsdccld 7657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-top 7594  df-cld 7660

Copyright terms: Public domain