MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncom Structured version   Unicode version

Theorem uncom 3491
Description: Commutative law for union of classes. Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
uncom  |-  ( A  u.  B )  =  ( B  u.  A
)

Proof of Theorem uncom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orcom 377 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  A )
)
2 elun 3488 . . 3  |-  ( x  e.  ( B  u.  A )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  A ) )
31, 2bitr4i 244 . 2  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  <->  x  e.  ( B  u.  A ) )
43uneqri 3489 1  |-  ( A  u.  B )  =  ( B  u.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318
This theorem is referenced by:  equncom  3492  uneq2  3495  un12  3505  un23  3506  ssun2  3511  unss2  3518  ssequn2  3520  undir  3590  unineq  3591  dif32  3604  disjpss  3678  undif1  3703  undif2  3704  difcom  3712  uneqdifeq  3716  dfif4  3750  dfif5  3751  prcom  3882  tpass  3902  prprc1  3914  difsnid  3944  ssunsn2  3958  sspr  3962  sstp  3963  unidif0  4372  suc0  4655  difex2  4714  elpwun  4756  fresaunres2  5615  fresaunres1  5616  f1oprswap  5717  fvun2  5795  fvsnun2  5929  fsnunfv  5933  fnsuppeq0  5953  fveqf1o  6029  difxp2  6382  oev2  6767  oacomf1o  6808  undifixp  7098  dfdom2  7133  domunsncan  7208  domunsn  7257  limensuci  7283  phplem2  7287  enp1ilem  7342  findcard2  7348  findcard2s  7349  frfi  7352  domunfican  7379  elfiun  7435  infdifsn  7611  cantnfp1lem3  7636  cdacomen  8061  infunsdom1  8093  infunsdom  8094  infxp  8095  ackbij1lem2  8101  ackbij1lem18  8117  fin1a2lem10  8289  fin1a2lem13  8292  zornn0g  8385  alephadd  8452  fpwwe2lem13  8517  canthp1lem1  8527  xrsupss  10887  xrinfmss  10888  supxrmnf  10896  prunioo  11025  fzsuc2  11104  fseq1p1m1  11122  hashinf  11623  hashun3  11658  hashbclem  11701  incexclem  12616  ramub1lem1  13394  setsid  13508  mreexexlem3d  13871  mreexexlem4d  13872  cnvtsr  14654  dmdprdsplit2  15604  lspsnat  16217  lsppratlem3  16221  indistopon  17065  indistps  17075  indistps2  17076  ordtcnv  17265  leordtval2  17276  lecldbas  17283  cmpcld  17465  iuncon  17491  ufprim  17941  alexsubALTlem3  18080  ptcmplem1  18083  xpsdsval  18411  iccntr  18852  reconn  18859  volun  19439  voliunlem1  19444  icombl  19458  ioombl  19459  ismbf3d  19546  itgioo  19707  itgsplitioo  19729  lhop  19900  plyeq0  20130  fta1lem  20224  birthdaylem2  20791  lgsquadlem2  21139  usgrafilem1  21425  constr3pthlem1  21642  ex-dif  21731  shjcom  22860  imadifxp  24038  fmptpr  24062  difioo  24145  xrge0iifcnv  24319  prsiga  24514  measun  24565  measunl  24570  subfacp1lem1  24865  subfacp1lem3  24868  pconcon  24918  indispcon  24921  nofulllem2  25658  symdifcom  25664  symdifV  25670  hfun  26119  onint1  26199  ralxpmap  26742  elrfi  26748  fzsplit1nn0  26812  eldioph2lem1  26818  eldioph2lem2  26819  diophin  26831  eldioph4b  26872  diophren  26874  kelac2  27140  pwssplit4  27168  enfixsn  27234  equncomVD  28980  iunconlem2  29047  bnj1416  29408  padd02  30609  paddcom  30610  pclfinclN  30747  djhcom  32203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-v 2958  df-un 3325
  Copyright terms: Public domain W3C validator