Theorem unctb 7527

Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unctb	|- ((A ~<_ om /\ B ~<_ om) -> (A u. B) ~<_ om)

Proof of Theorem unctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 2511	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. V) -> U.{A, B} = (A u. B))
2		reldom 4361	. . . 4 |- Rel ~<_
3	2	brrelexi 3203	. . 3 |- (A ~<_ om -> A e. V)
4	2	brrelexi 3203	. . 3 |- (B ~<_ om -> B e. V)
5	1, 3, 4	syl2an 454	. 2 |- ((A ~<_ om /\ B ~<_ om) -> U.{A, B} = (A u. B))
6		breq1 2617	. . . . . . 7 |- (x = A -> (x ~<_ om <-> A ~<_ om))
7	6	biimprcd 156	. . . . . 6 |- (A ~<_ om -> (x = A -> x ~<_ om))
8		breq1 2617	. . . . . . 7 |- (x = B -> (x ~<_ om <-> B ~<_ om))
9	8	biimprcd 156	. . . . . 6 |- (B ~<_ om -> (x = B -> x ~<_ om))
10	7, 9	jaao 427	. . . . 5 |- ((A ~<_ om /\ B ~<_ om) -> ((x = A \/ x = B) -> x ~<_ om))
11		visset 1809	. . . . . 6 |- x e. V
12	11	elpr 2420	. . . . 5 |- (x e. {A, B} <-> (x = A \/ x = B))
13	10, 12	syl5ib 206	. . . 4 |- ((A ~<_ om /\ B ~<_ om) -> (x e. {A, B} -> x ~<_ om))
14	13	r19.21aiv 1710	. . 3 |- ((A ~<_ om /\ B ~<_ om) -> A.x e. {A, B}x ~<_ om)
15		prfi 4537	. . . . . 6 |- E.x e. om {A, B} ~~ x
16		isfinite1 4516	. . . . . 6 |- (E.x e. om {A, B} ~~ x -> ({A, B} ~<_ om /\ -. om ~~ {A, B}))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . 5 |- ({A, B} ~<_ om /\ -. om ~~ {A, B})
18	17	pm3.26i 320	. . . 4 |- {A, B} ~<_ om
19		prex 2776	. . . . 5 |- {A, B} e. V
20	19	unictb 7526	. . . 4 |- (({A, B} ~<_ om /\ A.x e. {A, B}x ~<_ om) -> U.{A, B} ~<_ om)
21	18, 20	mpan 694	. . 3 |- (A.x e. {A, B}x ~<_ om -> U.{A, B} ~<_ om)
22	14, 21	syl 10	. 2 |- ((A ~<_ om /\ B ~<_ om) -> U.{A, B} ~<_ om)
23	5, 22	eqbrtrrd 2632	1 |- ((A ~<_ om /\ B ~<_ om) -> (A u. B) ~<_ om)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   u. cun 2041  {cpr 2406  U.cuni 2498   class class class wbr 2614  omcom 3126   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  cctop 7602

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-iso 3194  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-2o 4124  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-r1 4623  df-rank 4624  df-card 4796  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509

Copyright terms: Public domain