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Theorem undif3 3594
Description: An equality involving class union and class difference. The first equality of Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by Alan Sare, 17-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
undif3  |-  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )

Proof of Theorem undif3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3480 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
2 pm4.53 479 . . . . 5  |-  ( -.  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  <->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
3 eldif 3322 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
42, 3xchnxbir 301 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  ( C 
\  A )  <->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
)
51, 4anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  ( C  \  A ) )  <-> 
( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) ) )
6 eldif 3322 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \ 
( C  \  A
) )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  ( C  \  A
) ) )
7 elun 3480 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C
) ) )
8 eldif 3322 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  \  C )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )
98orbi2i 506 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
10 orc 375 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
11 olc 374 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) )
1210, 11jca 519 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
) )
13 olc 374 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
14 orc 375 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
1513, 14anim12i 550 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
1612, 15jaoi 369 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  ->  (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
) )
17 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  ->  x  e.  A )
1817orcd 382 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
19 olc 374 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
20 orc 375 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
2120adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
2220adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
2318, 19, 21, 22ccase 913 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
2416, 23impbii 181 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
257, 9, 243bitri 263 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) ) )
265, 6, 253bitr4ri 270 . 2  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  x  e.  (
( A  u.  B
)  \  ( C  \  A ) ) )
2726eqriv 2432 1  |-  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310
This theorem is referenced by:  undifabs  3697  llycmpkgen2  17574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317
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