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Theorem undif3 3431
Description: An equality involving class union and class difference. The first equality of Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by Alan Sare, 17-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
undif3  |-  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )

Proof of Theorem undif3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3318 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
2 pm4.53 478 . . . . 5  |-  ( -.  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  <->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
3 eldif 3164 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
42, 3xchnxbir 300 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  ( C 
\  A )  <->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
)
51, 4anbi12i 678 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  ( C  \  A ) )  <-> 
( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) ) )
6 eldif 3164 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \ 
( C  \  A
) )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  ( C  \  A
) ) )
7 elun 3318 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C
) ) )
8 eldif 3164 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  \  C )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )
98orbi2i 505 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
10 orc 374 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
11 olc 373 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) )
1210, 11jca 518 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
) )
13 olc 373 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
14 orc 374 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
1513, 14anim12i 549 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
1612, 15jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  ->  (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
) )
17 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  ->  x  e.  A )
1817orcd 381 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
19 olc 373 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
20 orc 374 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
2120adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
2220adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
2318, 19, 21, 22ccase 912 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
2416, 23impbii 180 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
257, 9, 243bitri 262 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) ) )
265, 6, 253bitr4ri 269 . 2  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  x  e.  (
( A  u.  B
)  \  ( C  \  A ) ) )
2726eqriv 2282 1  |-  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    \ cdif 3151    u. cun 3152
This theorem is referenced by:  undifabs  3533  llycmpkgen2  17247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-v 2792  df-dif 3157  df-un 3159
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