MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfi2 Unicode version

Theorem unfi2 7273
Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. This version of unfi 7271 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 7267). (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfi2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<  om )

Proof of Theorem unfi2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 7262 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
2 isfinite2 7262 . . 3  |-  ( B 
~<  om  ->  B  e.  Fin )
3 unfi 7271 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
5 fin2inf 7267 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  om  e.  _V )
65adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  om  e.  _V )
7 isfiniteg 7264 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (
( A  u.  B
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  ~<  om )
)
86, 7syl 15 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  ~<  om )
)
94, 8mpbid 201 1  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1715   _Vcvv 2873    u. cun 3236   class class class wbr 4125   omcom 4759    ~< csdm 7005   Fincfn 7006
This theorem is referenced by:  cdafi  7963  cdainflem  7964  infunsdom1  7986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010
  Copyright terms: Public domain W3C validator