Theorem unfilem2 4534

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite.

Hypotheses

Ref	Expression
unfilem1.1	|- A e. om
unfilem1.2	|- B e. om
unfilem1.3	|- F = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}

Assertion

Ref	Expression
unfilem2	|- F:B-1-1-onto->((A +o B) \ A)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem unfilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 3193	. 2 |- (F:B-1-1-onto->((A +o B) \ A) <-> (F:B-1-1->((A +o B) \ A) /\ F:B-onto->((A +o B) \ A)))
2		f1fv 3869	. . 3 |- (F:B-1-1->((A +o B) \ A) <-> (F:B-->((A +o B) \ A) /\ A.z e. B A.w e. B ((F` z) = (F` w) -> z = w)))
3		df-fo 3192	. . . . 5 |- (F:B-onto->((A +o B) \ A) <-> (F Fn B /\ ran F = ((A +o B) \ A)))
4		oprex 3978	. . . . . 6 |- (A +o x) e. V
5		unfilem1.3	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}
6	4, 5	fnopab2 3614	. . . . 5 |- F Fn B
7		unfilem1.1	. . . . . 6 |- A e. om
8		unfilem1.2	. . . . . 6 |- B e. om
9	7, 8, 5	unfilem1 4533	. . . . 5 |- ran F = ((A +o B) \ A)
10	3, 6, 9	mpbir2an 729	. . . 4 |- F:B-onto->((A +o B) \ A)
11		fof 3667	. . . 4 |- (F:B-onto->((A +o B) \ A) -> F:B-->((A +o B) \ A))
12	10, 11	ax-mp 7	. . 3 |- F:B-->((A +o B) \ A)
13		opreq2 3964	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (A +o x) = (A +o z))
14		oprex 3978	. . . . . . . 8 |- (A +o z) e. V
15	13, 5, 14	fvopab4 3775	. . . . . . 7 |- (z e. B -> (F` z) = (A +o z))
16		opreq2 3964	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (A +o x) = (A +o w))
17		oprex 3978	. . . . . . . 8 |- (A +o w) e. V
18	16, 5, 17	fvopab4 3775	. . . . . . 7 |- (w e. B -> (F` w) = (A +o w))
19	15, 18	eqeqan12d 1488	. . . . . 6 |- ((z e. B /\ w e. B) -> ((F` z) = (F` w) <-> (A +o z) = (A +o w)))
20		nnacan 4235	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ z e. om /\ w e. om) -> ((A +o z) = (A +o w) <-> z = w))
21	7, 20	mp3an1 902	. . . . . . 7 |- ((z e. om /\ w e. om) -> ((A +o z) = (A +o w) <-> z = w))
22		elnn 3138	. . . . . . . 8 |- ((z e. B /\ B e. om) -> z e. om)
23	8, 22	mpan2 695	. . . . . . 7 |- (z e. B -> z e. om)
24		elnn 3138	. . . . . . . 8 |- ((w e. B /\ B e. om) -> w e. om)
25	8, 24	mpan2 695	. . . . . . 7 |- (w e. B -> w e. om)
26	21, 23, 25	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((z e. B /\ w e. B) -> ((A +o z) = (A +o w) <-> z = w))
27	19, 26	bitrd 527	. . . . 5 |- ((z e. B /\ w e. B) -> ((F` z) = (F` w) <-> z = w))
28	27	biimpd 153	. . . 4 |- ((z e. B /\ w e. B) -> ((F` z) = (F` w) -> z = w))
29	28	rgen2a 1697	. . 3 |- A.z e. B A.w e. B ((F` z) = (F` w) -> z = w)
30	2, 12, 29	mpbir2an 729	. 2 |- F:B-1-1->((A +o B) \ A)
31	1, 30, 10	mpbir2an 729	1 |- F:B-1-1-onto->((A +o B) \ A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643   \ cdif 2041  {copab 2662  omcom 3127  ran crn 3167   Fn wfn 3173  -->wf 3174  -1-1->wf1 3175  -onto->wfo 3176  -1-1-onto->wf1o 3177  ` cfv 3178  (class class class)co 3958   +o coa 4123

This theorem is referenced by:  unfilem3 4535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-oadd 4128

Copyright terms: Public domain