Theorem unialeph 4906

Description: The union of the class of transfinite cardinals (the range of the aleph function) is the class of ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
unialeph	|- U.ran aleph = On

Proof of Theorem unialeph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephprc 4904	. . . 4 |- -. ran aleph e. V
2		uniexb 2913	. . . 4 |- (ran aleph e. V <-> U.ran aleph e. V)
3	1, 2	mtbi 191	. . 3 |- -. U.ran aleph e. V
4		elisset 1820	. . 3 |- (U.ran aleph e. On -> U.ran aleph e. V)
5	3, 4	mto 106	. 2 |- -. U.ran aleph e. On
6		alephsson 4905	. . . . 5 |- ran aleph (_ On
7		ssorduni 2999	. . . . 5 |- (ran aleph (_ On -> Ord U.ran aleph)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- Ord U.ran aleph
9		ordeleqon 2996	. . . 4 |- (Ord U.ran aleph <-> (U.ran aleph e. On \/ U.ran aleph = On))
10	8, 9	mpbi 189	. . 3 |- (U.ran aleph e. On \/ U.ran aleph = On)
11	10	ori 230	. 2 |- (-. U.ran aleph e. On -> U.ran aleph = On)
12	5, 11	ax-mp 7	1 |- U.ran aleph = On

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814   (_ wss 2050  U.cuni 2507  Ord word 2953  Oncon0 2954  ran crn 3177  alephcale 4824

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377  df-card 4826  df-aleph 4827

Copyright terms: Public domain