MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unidom Unicode version

Theorem unidom 8160
Description: An upper bound for the cardinality of a union. Theorem 10.47 of [TakeutiZaring] p. 98. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
unidom  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  B )  ->  U. A  ~<_  ( A  X.  B
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem unidom
StepHypRef Expression
1 uniiun 3956 . 2  |-  U. A  =  U_ x  e.  A  x
2 iundom 8159 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  x  ~<_  ( A  X.  B ) )
31, 2syl5eqbr 4057 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  B )  ->  U. A  ~<_  ( A  X.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1688   A.wral 2544   U.cuni 3828   U_ciun 3906   class class class wbr 4024    X. cxp 4686    ~<_ cdom 6856
This theorem is referenced by:  uniimadom  8161  unirnfdomd  8184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-ac2 8084
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-suc 4397  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-card 7567  df-acn 7570  df-ac 7738
  Copyright terms: Public domain W3C validator