Theorem unielrel 3510

Description: The membership relation for a relation is inherited by class union.

Assertion

Ref	Expression
unielrel	|- ((Rel R /\ A e. R) -> U.A e. U.R)

Proof of Theorem unielrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniopel 2805	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. R -> U.<.x, y>. e. U.R)
2	1	a1i 8	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (<.x, y>. e. R -> U.<.x, y>. e. U.R))
3		eleq1 1532	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (A e. R <-> <.x, y>. e. R))
4		unieq 2506	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> U.A = U.<.x, y>.)
5	4	eleq1d 1538	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (U.A e. U.R <-> U.<.x, y>. e. U.R))
6	2, 3, 5	3imtr4d 542	. . 3 |- (A = <.x, y>. -> (A e. R -> U.A e. U.R))
7	6	19.23aivv 1295	. 2 |- (E.xE.y A = <.x, y>. -> (A e. R -> U.A e. U.R))
8		elrel 3249	. 2 |- ((Rel R /\ A e. R) -> E.xE.y A = <.x, y>.)
9		pm3.27 323	. 2 |- ((Rel R /\ A e. R) -> A e. R)
10	7, 8, 9	sylc 68	1 |- ((Rel R /\ A e. R) -> U.A e. U.R)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  <.cop 2408  U.cuni 2499  Rel wrel 3171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-opab 2663  df-xp 3180  df-rel 3181

Copyright terms: Public domain