HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unierri Unicode version

Theorem unierri 22609
Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates)  F,  G by other unitary transformations  S,  T, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
unierr.1  |-  F  e. 
UniOp
unierr.2  |-  G  e. 
UniOp
unierr.3  |-  S  e. 
UniOp
unierr.4  |-  T  e. 
UniOp
Assertion
Ref Expression
unierri  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )

Proof of Theorem unierri
StepHypRef Expression
1 unierr.1 . . . . . . . 8  |-  F  e. 
UniOp
2 unopbd 22520 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  UniOp  ->  F  e.  BndLinOp )
31, 2ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  F  e.  BndLinOp
4 bdopf 22367 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  BndLinOp  ->  F : ~H --> ~H )
53, 4ax-mp 10 . . . . . 6  |-  F : ~H
--> ~H
6 unierr.2 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
UniOp
7 unopbd 22520 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  UniOp  ->  G  e.  BndLinOp )
86, 7ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  G  e.  BndLinOp
9 bdopf 22367 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  BndLinOp  ->  G : ~H --> ~H )
108, 9ax-mp 10 . . . . . 6  |-  G : ~H
--> ~H
115, 10hocofi 22271 . . . . 5  |-  ( F  o.  G ) : ~H --> ~H
12 unierr.3 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
UniOp
13 unopbd 22520 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  UniOp  ->  S  e.  BndLinOp )
1412, 13ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  S  e.  BndLinOp
15 bdopf 22367 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
1614, 15ax-mp 10 . . . . . 6  |-  S : ~H
--> ~H
17 unierr.4 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
UniOp
18 unopbd 22520 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  BndLinOp )
1917, 18ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  T  e.  BndLinOp
20 bdopf 22367 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
2119, 20ax-mp 10 . . . . . 6  |-  T : ~H
--> ~H
2216, 21hocofi 22271 . . . . 5  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
2311, 22hosubcli 22274 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T ) ) : ~H --> ~H
24 nmop0h 22496 . . . 4  |-  ( ( ~H  =  0H  /\  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) : ~H --> ~H )  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) )  =  0 )
2523, 24mpan2 655 . . 3  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  =  0 )
26 0le0 9760 . . . . 5  |-  0  <_  0
27 00id 8920 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2826, 27breqtrri 3988 . . . 4  |-  0  <_  ( 0  +  0 )
295, 16hosubcli 22274 . . . . . 6  |-  ( F  -op  S ) : ~H --> ~H
30 nmop0h 22496 . . . . . 6  |-  ( ( ~H  =  0H  /\  ( F  -op  S ) : ~H --> ~H )  ->  ( normop `  ( F  -op  S ) )  =  0 )
3129, 30mpan2 655 . . . . 5  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( F  -op  S
) )  =  0 )
3210, 21hosubcli 22274 . . . . . 6  |-  ( G  -op  T ) : ~H --> ~H
33 nmop0h 22496 . . . . . 6  |-  ( ( ~H  =  0H  /\  ( G  -op  T ) : ~H --> ~H )  ->  ( normop `  ( G  -op  T ) )  =  0 )
3432, 33mpan2 655 . . . . 5  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( G  -op  T
) )  =  0 )
3531, 34oveq12d 5775 . . . 4  |-  ( ~H  =  0H  ->  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
3628, 35syl5breqr 3999 . . 3  |-  ( ~H  =  0H  ->  0  <_  ( ( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
3725, 36eqbrtrd 3983 . 2  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
3816, 10hocofi 22271 . . . . . 6  |-  ( S  o.  G ) : ~H --> ~H
3911, 38, 22honpncani 22332 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  =  ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) )
4039fveq2i 5426 . . . 4  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  =  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )
413, 8bdopcoi 22603 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  G )  e.  BndLinOp
4214, 8bdopcoi 22603 . . . . . . 7  |-  ( S  o.  G )  e.  BndLinOp
4341, 42bdophdi 22602 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G ) )  e.  BndLinOp
4414, 19bdopcoi 22603 . . . . . . 7  |-  ( S  o.  T )  e.  BndLinOp
4542, 44bdophdi 22602 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T ) )  e.  BndLinOp
4643, 45nmoptrii 22599 . . . . 5  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  <_  ( ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  +  (
normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )
475, 16, 10hocsubdiri 22285 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  -op  S )  o.  G )  =  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
)
4847fveq2i 5426 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( F  -op  S )  o.  G ) )  =  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )
493, 14bdophdi 22602 . . . . . . . 8  |-  ( F  -op  S )  e.  BndLinOp
5049, 8nmopcoi 22600 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( F  -op  S )  o.  G ) )  <_  ( ( normop `  ( F  -op  S
) )  x.  ( normop `  G ) )
5148, 50eqbrtrri 3984 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)
52 bdopln 22366 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  LinOp )
5314, 52ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  S  e. 
LinOp
5453, 10, 21hoddii 22494 . . . . . . . 8  |-  ( S  o.  ( G  -op  T ) )  =  ( ( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) )
5554fveq2i 5426 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( S  o.  ( G  -op  T ) ) )  =  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )
568, 19bdophdi 22602 . . . . . . . 8  |-  ( G  -op  T )  e.  BndLinOp
5714, 56nmopcoi 22600 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( S  o.  ( G  -op  T ) ) )  <_  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) )
5855, 57eqbrtrri 3984 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )
59 nmopre 22375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  e.  BndLinOp 
->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  e.  RR )
6043, 59ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  e.  RR
61 nmopre 22375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) )  e.  BndLinOp 
->  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) )  e.  RR )
6245, 61ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  e.  RR
63 nmopre 22375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  -op  S )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  ( F  -op  S ) )  e.  RR )
6449, 63ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( F  -op  S
) )  e.  RR
65 nmopre 22375 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  G
)  e.  RR )
668, 65ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  G )  e.  RR
6764, 66remulcli 8784 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  e.  RR
68 nmopre 22375 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  S
)  e.  RR )
6914, 68ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  S )  e.  RR
70 nmopre 22375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  -op  T )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  ( G  -op  T ) )  e.  RR )
7156, 70ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( G  -op  T
) )  e.  RR
7269, 71remulcli 8784 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  e.  RR
7360, 62, 67, 72le2addi 9269 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  <_ 
( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G
) )  /\  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )  ->  ( ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  +  (
normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) ) )
7451, 58, 73mp2an 656 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  +  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) )
7543, 45bdophsi 22601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  e.  BndLinOp
76 nmopre 22375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
)  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) )  e.  BndLinOp 
->  ( normop `  ( (
( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) ) )  e.  RR )
7775, 76ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  e.  RR
7860, 62readdcli 8783 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  +  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  e.  RR
7967, 72readdcli 8783 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  +  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )  e.  RR
8077, 78, 79letri 8881 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  ( (
( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) ) )  <_ 
( ( normop `  (
( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) ) )  +  ( normop `  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  /\  ( (
normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  +  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) ) )  ->  ( normop `  (
( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
)  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) ) )
8146, 74, 80mp2an 656 . . . 4  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  <_  ( (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  +  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
8240, 81eqbrtrri 3984 . . 3  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G
) )  +  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
83 nmopun 22519 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  G  e.  UniOp )  -> 
( normop `  G )  =  1 )
846, 83mpan2 655 . . . . . 6  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  ( normop `  G )  =  1 )
8584oveq2d 5773 . . . . 5  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  =  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  1 ) )
8664recni 8782 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( F  -op  S
) )  e.  CC
8786mulid1i 8772 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  1 )  =  ( normop `  ( F  -op  S
) )
8885, 87syl6eq 2304 . . . 4  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  =  ( normop `  ( F  -op  S
) ) )
89 nmopun 22519 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  S  e.  UniOp )  -> 
( normop `  S )  =  1 )
9012, 89mpan2 655 . . . . . 6  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  ( normop `  S )  =  1 )
9190oveq1d 5772 . . . . 5  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( 1  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
9271recni 8782 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( G  -op  T
) )  e.  CC
9392mulid2i 8773 . . . . 5  |-  ( 1  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( normop `  ( G  -op  T
) )
9491, 93syl6eq 2304 . . . 4  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )
9588, 94oveq12d 5775 . . 3  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G
) )  +  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )  =  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  +  (
normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
9682, 95syl5breq 3998 . 2  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
9737, 96pm2.61ine 2495 1  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   class class class wbr 3963    o. ccom 4630   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    <_ cle 8801   ~Hchil 21424   0Hc0h 21440    +op chos 21443    -op chod 21445   normopcnop 21450   LinOpclo 21452   BndLinOpcbo 21453   UniOpcuo 21454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cc 7994  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvmulass 21512  ax-hvdistr1 21513  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588  ax-his4 21589  ax-hcompl 21706
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-lm 16886  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cfil 18608  df-cau 18609  df-cmet 18610  df-grpo 20783  df-gid 20784  df-ginv 20785  df-gdiv 20786  df-ablo 20874  df-subgo 20894  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-vs 21080  df-nmcv 21081  df-ims 21082  df-dip 21199  df-ssp 21223  df-lno 21247  df-nmoo 21248  df-0o 21250  df-ph 21316  df-cbn 21367  df-hnorm 21473  df-hba 21474  df-hvsub 21476  df-hlim 21477  df-hcau 21478  df-sh 21711  df-ch 21726  df-oc 21756  df-ch0 21757  df-shs 21812  df-pjh 21899  df-hosum 22087  df-homul 22088  df-hodif 22089  df-h0op 22253  df-nmop 22344  df-lnop 22346  df-bdop 22347  df-unop 22348  df-hmop 22349
  Copyright terms: Public domain W3C validator