HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unierri Unicode version

Theorem unierri 22630
Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates)  F,  G by other unitary transformations  S,  T, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
unierr.1  |-  F  e. 
UniOp
unierr.2  |-  G  e. 
UniOp
unierr.3  |-  S  e. 
UniOp
unierr.4  |-  T  e. 
UniOp
Assertion
Ref Expression
unierri  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )

Proof of Theorem unierri
StepHypRef Expression
1 unierr.1 . . . . . . . 8  |-  F  e. 
UniOp
2 unopbd 22541 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  UniOp  ->  F  e.  BndLinOp )
31, 2ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  F  e.  BndLinOp
4 bdopf 22388 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  BndLinOp  ->  F : ~H --> ~H )
53, 4ax-mp 10 . . . . . 6  |-  F : ~H
--> ~H
6 unierr.2 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
UniOp
7 unopbd 22541 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  UniOp  ->  G  e.  BndLinOp )
86, 7ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  G  e.  BndLinOp
9 bdopf 22388 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  BndLinOp  ->  G : ~H --> ~H )
108, 9ax-mp 10 . . . . . 6  |-  G : ~H
--> ~H
115, 10hocofi 22292 . . . . 5  |-  ( F  o.  G ) : ~H --> ~H
12 unierr.3 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
UniOp
13 unopbd 22541 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  UniOp  ->  S  e.  BndLinOp )
1412, 13ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  S  e.  BndLinOp
15 bdopf 22388 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
1614, 15ax-mp 10 . . . . . 6  |-  S : ~H
--> ~H
17 unierr.4 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
UniOp
18 unopbd 22541 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  BndLinOp )
1917, 18ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  T  e.  BndLinOp
20 bdopf 22388 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
2119, 20ax-mp 10 . . . . . 6  |-  T : ~H
--> ~H
2216, 21hocofi 22292 . . . . 5  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
2311, 22hosubcli 22295 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T ) ) : ~H --> ~H
24 nmop0h 22517 . . . 4  |-  ( ( ~H  =  0H  /\  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) : ~H --> ~H )  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) )  =  0 )
2523, 24mpan2 655 . . 3  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  =  0 )
26 0le0 9781 . . . . 5  |-  0  <_  0
27 00id 8941 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2826, 27breqtrri 4008 . . . 4  |-  0  <_  ( 0  +  0 )
295, 16hosubcli 22295 . . . . . 6  |-  ( F  -op  S ) : ~H --> ~H
30 nmop0h 22517 . . . . . 6  |-  ( ( ~H  =  0H  /\  ( F  -op  S ) : ~H --> ~H )  ->  ( normop `  ( F  -op  S ) )  =  0 )
3129, 30mpan2 655 . . . . 5  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( F  -op  S
) )  =  0 )
3210, 21hosubcli 22295 . . . . . 6  |-  ( G  -op  T ) : ~H --> ~H
33 nmop0h 22517 . . . . . 6  |-  ( ( ~H  =  0H  /\  ( G  -op  T ) : ~H --> ~H )  ->  ( normop `  ( G  -op  T ) )  =  0 )
3432, 33mpan2 655 . . . . 5  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( G  -op  T
) )  =  0 )
3531, 34oveq12d 5796 . . . 4  |-  ( ~H  =  0H  ->  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
3628, 35syl5breqr 4019 . . 3  |-  ( ~H  =  0H  ->  0  <_  ( ( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
3725, 36eqbrtrd 4003 . 2  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
3816, 10hocofi 22292 . . . . . 6  |-  ( S  o.  G ) : ~H --> ~H
3911, 38, 22honpncani 22353 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  =  ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) )
4039fveq2i 5447 . . . 4  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  =  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )
413, 8bdopcoi 22624 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  G )  e.  BndLinOp
4214, 8bdopcoi 22624 . . . . . . 7  |-  ( S  o.  G )  e.  BndLinOp
4341, 42bdophdi 22623 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G ) )  e.  BndLinOp
4414, 19bdopcoi 22624 . . . . . . 7  |-  ( S  o.  T )  e.  BndLinOp
4542, 44bdophdi 22623 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T ) )  e.  BndLinOp
4643, 45nmoptrii 22620 . . . . 5  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  <_  ( ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  +  (
normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )
475, 16, 10hocsubdiri 22306 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  -op  S )  o.  G )  =  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
)
4847fveq2i 5447 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( F  -op  S )  o.  G ) )  =  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )
493, 14bdophdi 22623 . . . . . . . 8  |-  ( F  -op  S )  e.  BndLinOp
5049, 8nmopcoi 22621 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( F  -op  S )  o.  G ) )  <_  ( ( normop `  ( F  -op  S
) )  x.  ( normop `  G ) )
5148, 50eqbrtrri 4004 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)
52 bdopln 22387 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  LinOp )
5314, 52ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  S  e. 
LinOp
5453, 10, 21hoddii 22515 . . . . . . . 8  |-  ( S  o.  ( G  -op  T ) )  =  ( ( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) )
5554fveq2i 5447 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( S  o.  ( G  -op  T ) ) )  =  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )
568, 19bdophdi 22623 . . . . . . . 8  |-  ( G  -op  T )  e.  BndLinOp
5714, 56nmopcoi 22621 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( S  o.  ( G  -op  T ) ) )  <_  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) )
5855, 57eqbrtrri 4004 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )
59 nmopre 22396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  e.  BndLinOp 
->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  e.  RR )
6043, 59ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  e.  RR
61 nmopre 22396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) )  e.  BndLinOp 
->  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) )  e.  RR )
6245, 61ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  e.  RR
63 nmopre 22396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  -op  S )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  ( F  -op  S ) )  e.  RR )
6449, 63ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( F  -op  S
) )  e.  RR
65 nmopre 22396 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  G
)  e.  RR )
668, 65ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  G )  e.  RR
6764, 66remulcli 8805 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  e.  RR
68 nmopre 22396 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  S
)  e.  RR )
6914, 68ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  S )  e.  RR
70 nmopre 22396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  -op  T )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  ( G  -op  T ) )  e.  RR )
7156, 70ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( G  -op  T
) )  e.  RR
7269, 71remulcli 8805 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  e.  RR
7360, 62, 67, 72le2addi 9290 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  <_ 
( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G
) )  /\  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )  ->  ( ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  +  (
normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) ) )
7451, 58, 73mp2an 656 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  +  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) )
7543, 45bdophsi 22622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  e.  BndLinOp
76 nmopre 22396 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
)  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) )  e.  BndLinOp 
->  ( normop `  ( (
( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) ) )  e.  RR )
7775, 76ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  e.  RR
7860, 62readdcli 8804 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  +  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  e.  RR
7967, 72readdcli 8804 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  +  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )  e.  RR
8077, 78, 79letri 8902 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  ( (
( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) ) )  <_ 
( ( normop `  (
( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) ) )  +  ( normop `  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  /\  ( (
normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  +  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) ) )  ->  ( normop `  (
( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
)  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) ) )
8146, 74, 80mp2an 656 . . . 4  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  <_  ( (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  +  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
8240, 81eqbrtrri 4004 . . 3  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G
) )  +  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
83 nmopun 22540 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  G  e.  UniOp )  -> 
( normop `  G )  =  1 )
846, 83mpan2 655 . . . . . 6  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  ( normop `  G )  =  1 )
8584oveq2d 5794 . . . . 5  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  =  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  1 ) )
8664recni 8803 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( F  -op  S
) )  e.  CC
8786mulid1i 8793 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  1 )  =  ( normop `  ( F  -op  S
) )
8885, 87syl6eq 2304 . . . 4  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  =  ( normop `  ( F  -op  S
) ) )
89 nmopun 22540 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  S  e.  UniOp )  -> 
( normop `  S )  =  1 )
9012, 89mpan2 655 . . . . . 6  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  ( normop `  S )  =  1 )
9190oveq1d 5793 . . . . 5  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( 1  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
9271recni 8803 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( G  -op  T
) )  e.  CC
9392mulid2i 8794 . . . . 5  |-  ( 1  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( normop `  ( G  -op  T
) )
9491, 93syl6eq 2304 . . . 4  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )
9588, 94oveq12d 5796 . . 3  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G
) )  +  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )  =  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  +  (
normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
9682, 95syl5breq 4018 . 2  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
9737, 96pm2.61ine 2495 1  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   class class class wbr 3983    o. ccom 4651   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692    + caddc 8694    x. cmul 8696    <_ cle 8822   ~Hchil 21445   0Hc0h 21461    +op chos 21464    -op chod 21466   normopcnop 21471   LinOpclo 21473   BndLinOpcbo 21474   UniOpcuo 21475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cc 8015  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771  ax-hilex 21525  ax-hfvadd 21526  ax-hvcom 21527  ax-hvass 21528  ax-hv0cl 21529  ax-hvaddid 21530  ax-hfvmul 21531  ax-hvmulid 21532  ax-hvmulass 21533  ax-hvdistr1 21534  ax-hvdistr2 21535  ax-hvmul0 21536  ax-hfi 21604  ax-his1 21607  ax-his2 21608  ax-his3 21609  ax-his4 21610  ax-hcompl 21727
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-lm 16907  df-haus 16991  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cfil 18629  df-cau 18630  df-cmet 18631  df-grpo 20804  df-gid 20805  df-ginv 20806  df-gdiv 20807  df-ablo 20895  df-subgo 20915  df-vc 21048  df-nv 21094  df-va 21097  df-ba 21098  df-sm 21099  df-0v 21100  df-vs 21101  df-nmcv 21102  df-ims 21103  df-dip 21220  df-ssp 21244  df-lno 21268  df-nmoo 21269  df-0o 21271  df-ph 21337  df-cbn 21388  df-hnorm 21494  df-hba 21495  df-hvsub 21497  df-hlim 21498  df-hcau 21499  df-sh 21732  df-ch 21747  df-oc 21777  df-ch0 21778  df-shs 21833  df-pjh 21920  df-hosum 22108  df-homul 22109  df-hodif 22110  df-h0op 22274  df-nmop 22365  df-lnop 22367  df-bdop 22368  df-unop 22369  df-hmop 22370
  Copyright terms: Public domain W3C validator