HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unierri Unicode version

Theorem unierri 22684
Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates)  F,  G by other unitary transformations  S,  T, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
unierr.1  |-  F  e. 
UniOp
unierr.2  |-  G  e. 
UniOp
unierr.3  |-  S  e. 
UniOp
unierr.4  |-  T  e. 
UniOp
Assertion
Ref Expression
unierri  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )

Proof of Theorem unierri
StepHypRef Expression
1 unierr.1 . . . . . . . 8  |-  F  e. 
UniOp
2 unopbd 22595 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  UniOp  ->  F  e.  BndLinOp )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  F  e.  BndLinOp
4 bdopf 22442 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  BndLinOp  ->  F : ~H --> ~H )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  F : ~H
--> ~H
6 unierr.2 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
UniOp
7 unopbd 22595 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  UniOp  ->  G  e.  BndLinOp )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  G  e.  BndLinOp
9 bdopf 22442 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  BndLinOp  ->  G : ~H --> ~H )
108, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  G : ~H
--> ~H
115, 10hocofi 22346 . . . . 5  |-  ( F  o.  G ) : ~H --> ~H
12 unierr.3 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
UniOp
13 unopbd 22595 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  UniOp  ->  S  e.  BndLinOp )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  S  e.  BndLinOp
15 bdopf 22442 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  S : ~H
--> ~H
17 unierr.4 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
UniOp
18 unopbd 22595 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  BndLinOp )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  T  e.  BndLinOp
20 bdopf 22442 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . 6  |-  T : ~H
--> ~H
2216, 21hocofi 22346 . . . . 5  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
2311, 22hosubcli 22349 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T ) ) : ~H --> ~H
24 nmop0h 22571 . . . 4  |-  ( ( ~H  =  0H  /\  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) : ~H --> ~H )  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) )  =  0 )
2523, 24mpan2 652 . . 3  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  =  0 )
26 0le0 9827 . . . . 5  |-  0  <_  0
27 00id 8987 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2826, 27breqtrri 4048 . . . 4  |-  0  <_  ( 0  +  0 )
295, 16hosubcli 22349 . . . . . 6  |-  ( F  -op  S ) : ~H --> ~H
30 nmop0h 22571 . . . . . 6  |-  ( ( ~H  =  0H  /\  ( F  -op  S ) : ~H --> ~H )  ->  ( normop `  ( F  -op  S ) )  =  0 )
3129, 30mpan2 652 . . . . 5  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( F  -op  S
) )  =  0 )
3210, 21hosubcli 22349 . . . . . 6  |-  ( G  -op  T ) : ~H --> ~H
33 nmop0h 22571 . . . . . 6  |-  ( ( ~H  =  0H  /\  ( G  -op  T ) : ~H --> ~H )  ->  ( normop `  ( G  -op  T ) )  =  0 )
3432, 33mpan2 652 . . . . 5  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( G  -op  T
) )  =  0 )
3531, 34oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ~H  =  0H  ->  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
3628, 35syl5breqr 4059 . . 3  |-  ( ~H  =  0H  ->  0  <_  ( ( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
3725, 36eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( ~H  =  0H  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
3816, 10hocofi 22346 . . . . . 6  |-  ( S  o.  G ) : ~H --> ~H
3911, 38, 22honpncani 22407 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  =  ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) )
4039fveq2i 5528 . . . 4  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  =  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )
413, 8bdopcoi 22678 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  G )  e.  BndLinOp
4214, 8bdopcoi 22678 . . . . . . 7  |-  ( S  o.  G )  e.  BndLinOp
4341, 42bdophdi 22677 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G ) )  e.  BndLinOp
4414, 19bdopcoi 22678 . . . . . . 7  |-  ( S  o.  T )  e.  BndLinOp
4542, 44bdophdi 22677 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T ) )  e.  BndLinOp
4643, 45nmoptrii 22674 . . . . 5  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  <_  ( ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  +  (
normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )
475, 16, 10hocsubdiri 22360 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  -op  S )  o.  G )  =  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
)
4847fveq2i 5528 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( F  -op  S )  o.  G ) )  =  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )
493, 14bdophdi 22677 . . . . . . . 8  |-  ( F  -op  S )  e.  BndLinOp
5049, 8nmopcoi 22675 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( F  -op  S )  o.  G ) )  <_  ( ( normop `  ( F  -op  S
) )  x.  ( normop `  G ) )
5148, 50eqbrtrri 4044 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)
52 bdopln 22441 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  LinOp )
5314, 52ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  S  e. 
LinOp
5453, 10, 21hoddii 22569 . . . . . . . 8  |-  ( S  o.  ( G  -op  T ) )  =  ( ( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) )
5554fveq2i 5528 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( S  o.  ( G  -op  T ) ) )  =  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )
568, 19bdophdi 22677 . . . . . . . 8  |-  ( G  -op  T )  e.  BndLinOp
5714, 56nmopcoi 22675 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( S  o.  ( G  -op  T ) ) )  <_  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) )
5855, 57eqbrtrri 4044 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )
59 nmopre 22450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  e.  BndLinOp 
->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  e.  RR )
6043, 59ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  e.  RR
61 nmopre 22450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) )  e.  BndLinOp 
->  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) )  e.  RR )
6245, 61ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  e.  RR
63 nmopre 22450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  -op  S )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  ( F  -op  S ) )  e.  RR )
6449, 63ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( F  -op  S
) )  e.  RR
65 nmopre 22450 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  G
)  e.  RR )
668, 65ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  G )  e.  RR
6764, 66remulcli 8851 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  e.  RR
68 nmopre 22450 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  S
)  e.  RR )
6914, 68ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  S )  e.  RR
70 nmopre 22450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  -op  T )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  ( G  -op  T ) )  e.  RR )
7156, 70ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( G  -op  T
) )  e.  RR
7269, 71remulcli 8851 . . . . . . 7  |-  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  e.  RR
7360, 62, 67, 72le2addi 9336 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  <_ 
( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G
) )  /\  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )  ->  ( ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
) )  +  (
normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) ) )
7451, 58, 73mp2an 653 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  +  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) )
7543, 45bdophsi 22676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  e.  BndLinOp
76 nmopre 22450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
)  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) )  e.  BndLinOp 
->  ( normop `  ( (
( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) ) )  e.  RR )
7775, 76ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  e.  RR
7860, 62readdcli 8850 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  +  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  e.  RR
7967, 72readdcli 8850 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  +  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )  e.  RR
8077, 78, 79letri 8948 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  ( (
( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) )  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) ) )  <_ 
( ( normop `  (
( F  o.  G
)  -op  ( S  o.  G ) ) )  +  ( normop `  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  /\  ( (
normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) ) )  +  ( normop `  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) ) )  ->  ( normop `  (
( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G )
)  +op  ( ( S  o.  G )  -op  ( S  o.  T
) ) ) )  <_  ( ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G ) )  +  ( ( normop `  S
)  x.  ( normop `  ( G  -op  T
) ) ) ) )
8146, 74, 80mp2an 653 . . . 4  |-  ( normop `  ( ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  G
) )  +op  (
( S  o.  G
)  -op  ( S  o.  T ) ) ) )  <_  ( (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  +  ( (
normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
8240, 81eqbrtrri 4044 . . 3  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G
) )  +  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
83 nmopun 22594 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  G  e.  UniOp )  -> 
( normop `  G )  =  1 )
846, 83mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  ( normop `  G )  =  1 )
8584oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  =  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  1 ) )
8664recni 8849 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( F  -op  S
) )  e.  CC
8786mulid1i 8839 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  x.  1 )  =  ( normop `  ( F  -op  S
) )
8885, 87syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G )
)  =  ( normop `  ( F  -op  S
) ) )
89 nmopun 22594 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  =/=  0H  /\  S  e.  UniOp )  -> 
( normop `  S )  =  1 )
9012, 89mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  ( normop `  S )  =  1 )
9190oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( 1  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
9271recni 8849 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( G  -op  T
) )  e.  CC
9392mulid2i 8840 . . . . 5  |-  ( 1  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( normop `  ( G  -op  T
) )
9491, 93syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )  =  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )
9588, 94oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  (
( ( normop `  ( F  -op  S ) )  x.  ( normop `  G
) )  +  ( ( normop `  S )  x.  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )  =  ( (
normop `  ( F  -op  S ) )  +  (
normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
9682, 95syl5breq 4058 . 2  |-  ( ~H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) ) )
9737, 96pm2.61ine 2522 1  |-  ( normop `  ( ( F  o.  G )  -op  ( S  o.  T )
) )  <_  (
( normop `  ( F  -op  S ) )  +  ( normop `  ( G  -op  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868   ~Hchil 21499   0Hc0h 21515    +op chos 21518    -op chod 21520   normopcnop 21525   LinOpclo 21527   BndLinOpcbo 21528   UniOpcuo 21529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-lno 21322  df-nmoo 21323  df-0o 21325  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-pjh 21974  df-hosum 22310  df-homul 22311  df-hodif 22312  df-h0op 22328  df-nmop 22419  df-lnop 22421  df-bdop 22422  df-unop 22423  df-hmop 22424
  Copyright terms: Public domain W3C validator