Theorem uniex2 2860

Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set x, its union y exists.

Assertion

Ref	Expression
uniex2	|- E.y y = U.x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem uniex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axun 2858	. . . 4 |- E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y)
2		eluni 2496	. . . . . . 7 |- (z e. U.x <-> E.y(z e. y /\ y e. x))
3	2	imbi1i 186	. . . . . 6 |- ((z e. U.x -> z e. y) <-> (E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
4	3	albii 996	. . . . 5 |- (A.z(z e. U.x -> z e. y) <-> A.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
5	4	exbii 1047	. . . 4 |- (E.yA.z(z e. U.x -> z e. y) <-> E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
6	1, 5	mpbir 190	. . 3 |- E.yA.z(z e. U.x -> z e. y)
7	6	bm1.3ii 2696	. 2 |- E.yA.z(z e. y <-> z e. U.x)
8		dfcleq 1463	. . 3 |- (y = U.x <-> A.z(z e. y <-> z e. U.x))
9	8	exbii 1047	. 2 |- (E.y y = U.x <-> E.yA.z(z e. y <-> z e. U.x))
10	7, 9	mpbir 190	1 |- E.y y = U.x

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  U.cuni 2493

This theorem is referenced by:  uniex 2861

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-v 1803  df-uni 2494

Copyright terms: Public domain