Theorem unifi 4701

Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144.

Assertion

Ref	Expression
unifi	|- ((A e. Fin /\ A.x e. A x e. Fin) -> U.A e. Fin)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem unifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 4523	. . 3 |- (A e. Fin <-> E.m e. om A ~~ m)
2		breq2 2696	. . . . . . . . 9 |- (m = (/) -> (y ~~ m <-> y ~~ (/)))
3	2	anbi1d 620	. . . . . . . 8 |- (m = (/) -> ((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) <-> (y ~~ (/) /\ A.x e. y x e. Fin)))
4	3	imbi1d 616	. . . . . . 7 |- (m = (/) -> (((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) <-> ((y ~~ (/) /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin)))
5	4	albidv 1316	. . . . . 6 |- (m = (/) -> (A.y((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) <-> A.y((y ~~ (/) /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin)))
6		breq2 2696	. . . . . . . . 9 |- (m = k -> (y ~~ m <-> y ~~ k))
7	6	anbi1d 620	. . . . . . . 8 |- (m = k -> ((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) <-> (y ~~ k /\ A.x e. y x e. Fin)))
8	7	imbi1d 616	. . . . . . 7 |- (m = k -> (((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) <-> ((y ~~ k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin)))
9	8	albidv 1316	. . . . . 6 |- (m = k -> (A.y((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) <-> A.y((y ~~ k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin)))
10		breq2 2696	. . . . . . . . 9 |- (m = suc k -> (y ~~ m <-> y ~~ suc k))
11	10	anbi1d 620	. . . . . . . 8 |- (m = suc k -> ((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) <-> (y ~~ suc k /\ A.x e. y x e. Fin)))
12	11	imbi1d 616	. . . . . . 7 |- (m = suc k -> (((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) <-> ((y ~~ suc k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin)))
13	12	albidv 1316	. . . . . 6 |- (m = suc k -> (A.y((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) <-> A.y((y ~~ suc k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin)))
14		en0 4564	. . . . . . . . 9 |- (y ~~ (/) <-> y = (/))
15		unieq 2576	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (/) -> U.y = U.(/))
16		uni0 2592	. . . . . . . . . . 11 |- U.(/) = (/)
17	15, 16	syl6eq 1566	. . . . . . . . . 10 |- (y = (/) -> U.y = (/))
18		peano1 3237	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. om
19		ssid 2132	. . . . . . . . . . 11 |- (/) (_ (/)
20		ssnnfi 4682	. . . . . . . . . . 11 |- (((/) e. om /\ (/) (_ (/)) -> (/) e. Fin)
21	18, 19, 20	mp2an 701	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. Fin
22	17, 21	syl6eqel 1599	. . . . . . . . 9 |- (y = (/) -> U.y e. Fin)
23	14, 22	sylbi 197	. . . . . . . 8 |- (y ~~ (/) -> U.y e. Fin)
24	23	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((y ~~ (/) /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin)
25	24	ax-gen 999	. . . . . 6 |- A.y((y ~~ (/) /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin)
26		breq1 2695	. . . . . . . . . . 11 |- (y = z -> (y ~~ k <-> z ~~ k))
27		raleq1 1832	. . . . . . . . . . 11 |- (y = z -> (A.x e. y x e. Fin <-> A.x e. z x e. Fin))
28	26, 27	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 |- (y = z -> ((y ~~ k /\ A.x e. y x e. Fin) <-> (z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin)))
29		unieq 2576	. . . . . . . . . . 11 |- (y = z -> U.y = U.z)
30	29	eleq1d 1583	. . . . . . . . . 10 |- (y = z -> (U.y e. Fin <-> U.z e. Fin))
31	28, 30	imbi12d 629	. . . . . . . . 9 |- (y = z -> (((y ~~ k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) <-> ((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin)))
32	31	cbvalv 1352	. . . . . . . 8 |- (A.y((y ~~ k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) <-> A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin))
33		visset 1859	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- k e. V
34	33	sucex 3168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- suc k e. V
35	34	ensym 4553	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y ~~ suc k -> suc k ~~ y)
36		visset 1859	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
37	36	bren 4518	. . . . . . . . . . . . 13 |- (suc k ~~ y <-> E.f f:suc k-1-1-onto->y)
38	35, 37	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- (y ~~ suc k -> E.f f:suc k-1-1-onto->y)
39		unfi 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((U.(f"k) e. Fin /\ (f` k) e. Fin) -> (U.(f"k) u. (f` k)) e. Fin)
40		visset 1859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- f e. V
41		imaexg 3508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (f e. V -> (f"k) e. V)
42	40, 41	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (f"k) e. V
43		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z = (f"k) -> (z ~~ k <-> (f"k) ~~ k))
44		raleq1 1832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z = (f"k) -> (A.x e. z x e. Fin <-> A.x e. (f"k)x e. Fin))
45	43, 44	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z = (f"k) -> ((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) <-> ((f"k) ~~ k /\ A.x e. (f"k)x e. Fin)))
46		unieq 2576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z = (f"k) -> U.z = U.(f"k))
47	46	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z = (f"k) -> (U.z e. Fin <-> U.(f"k) e. Fin))
48	45, 47	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z = (f"k) -> (((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) <-> (((f"k) ~~ k /\ A.x e. (f"k)x e. Fin) -> U.(f"k) e. Fin)))
49	42, 48	cla4v 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) -> (((f"k) ~~ k /\ A.x e. (f"k)x e. Fin) -> U.(f"k) e. Fin))
50	49	imp 348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) /\ ((f"k) ~~ k /\ A.x e. (f"k)x e. Fin)) -> U.(f"k) e. Fin)
51		f1of1 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> f:suc k-1-1->y)
52		sssucid 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- k (_ suc k
53		f1ores 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((f:suc k-1-1->y /\ k (_ suc k) -> (f |` k):k-1-1-onto->(f"k))
54	52, 53	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (f:suc k-1-1->y -> (f |` k):k-1-1-onto->(f"k))
55	33	f1oen 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((f |` k):k-1-1-onto->(f"k) -> k ~~ (f"k))
56	51, 54, 55	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> k ~~ (f"k))
57	42	ensym 4553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k ~~ (f"k) -> (f"k) ~~ k)
58	56, 57	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> (f"k) ~~ k)
59	58	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((f:suc k-1-1-onto->y /\ A.x e. y x e. Fin) -> (f"k) ~~ k)
60		ssun1 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (f"k) (_ ((f"k) u. {(f` k)})
61	60	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> (f"k) (_ ((f"k) u. {(f` k)}))
62		f1ofn 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> f Fn suc k)
63	33	sucid 3051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- k e. suc k
64		fnsnfv 3878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((f Fn suc k /\ k e. suc k) -> {(f` k)} = (f"{k}))
65	63, 64	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (f Fn suc k -> {(f` k)} = (f"{k}))
66	62, 65	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> {(f` k)} = (f"{k}))
67	66	uneq2d 2236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> ((f"k) u. {(f` k)}) = ((f"k) u. (f"{k})))
68		df-suc 2981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- suc k = (k u. {k})
69	68	imaeq2i 3494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (f"suc k) = (f"(k u. {k}))
70		imaundi 3545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (f"(k u. {k})) = ((f"k) u. (f"{k}))
71	69, 70	eqtr2i 1539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((f"k) u. (f"{k})) = (f"suc k)
72	67, 71	syl6eq 1566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> ((f"k) u. {(f` k)}) = (f"suc k))
73		f1ofo 3803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> f:suc k-onto->y)
74		foima 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (f:suc k-onto->y -> (f"suc k) = y)
75	73, 74	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> (f"suc k) = y)
76	72, 75	eqtrd 1550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> ((f"k) u. {(f` k)}) = y)
77	61, 76	sseqtrd 2149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> (f"k) (_ y)
78		ssralv 2166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((f"k) (_ y -> (A.x e. y x e. Fin -> A.x e. (f"k)x e. Fin))
79	77, 78	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> (A.x e. y x e. Fin -> A.x e. (f"k)x e. Fin))
80	79	imp 348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((f:suc k-1-1-onto->y /\ A.x e. y x e. Fin) -> A.x e. (f"k)x e. Fin)
81	59, 80	jca 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((f:suc k-1-1-onto->y /\ A.x e. y x e. Fin) -> ((f"k) ~~ k /\ A.x e. (f"k)x e. Fin))
82	50, 81	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) /\ (f:suc k-1-1-onto->y /\ A.x e. y x e. Fin)) -> U.(f"k) e. Fin)
83	82	an1s 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((f:suc k-1-1-onto->y /\ (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) /\ A.x e. y x e. Fin)) -> U.(f"k) e. Fin)
84		eleq1 1577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = (f` k) -> (x e. Fin <-> (f` k) e. Fin))
85	84	rcla4va 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((f` k) e. y /\ A.x e. y x e. Fin) -> (f` k) e. Fin)
86		f1of 3797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> f:suc k-->y)
87		ffvelrn 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((f:suc k-->y /\ k e. suc k) -> (f` k) e. y)
88	63, 87	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (f:suc k-->y -> (f` k) e. y)
89	86, 88	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> (f` k) e. y)
90	85, 89	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((f:suc k-1-1-onto->y /\ A.x e. y x e. Fin) -> (f` k) e. Fin)
91	90	adantrl 394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((f:suc k-1-1-onto->y /\ (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) /\ A.x e. y x e. Fin)) -> (f` k) e. Fin)
92	39, 83, 91	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((f:suc k-1-1-onto->y /\ (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) /\ A.x e. y x e. Fin)) -> (U.(f"k) u. (f` k)) e. Fin)
93	76	unieqd 2578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> U.((f"k) u. {(f` k)}) = U.y)
94		uniun 2586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U.((f"k) u. {(f` k)}) = (U.(f"k) u. U.{(f` k)})
95		fvex 3843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (f` k) e. V
96	95	unisn 2583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U.{(f` k)} = (f` k)
97	96	uneq2i 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (U.(f"k) u. U.{(f` k)}) = (U.(f"k) u. (f` k))
98	94, 97	eqtr2i 1539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (U.(f"k) u. (f` k)) = U.((f"k) u. {(f` k)})
99	93, 98	syl5eq 1562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> (U.(f"k) u. (f` k)) = U.y)
100	99	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> ((U.(f"k) u. (f` k)) e. Fin <-> U.y e. Fin))
101	100	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((f:suc k-1-1-onto->y /\ (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) /\ A.x e. y x e. Fin)) -> ((U.(f"k) u. (f` k)) e. Fin <-> U.y e. Fin))
102	92, 101	mpbid 193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f:suc k-1-1-onto->y /\ (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) /\ A.x e. y x e. Fin)) -> U.y e. Fin)
103	102	exp32 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f:suc k-1-1-onto->y -> (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) -> (A.x e. y x e. Fin -> U.y e. Fin)))
104	103	19.23aiv 1333	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.f f:suc k-1-1-onto->y -> (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) -> (A.x e. y x e. Fin -> U.y e. Fin)))
105	38, 104	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (y ~~ suc k -> (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) -> (A.x e. y x e. Fin -> U.y e. Fin)))
106	105	com12 11	. . . . . . . . . 10 |- (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) -> (y ~~ suc k -> (A.x e. y x e. Fin -> U.y e. Fin)))
107	106	imp3a 359	. . . . . . . . 9 |- (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) -> ((y ~~ suc k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin))
108	107	19.21aiv 1324	. . . . . . . 8 |- (A.z((z ~~ k /\ A.x e. z x e. Fin) -> U.z e. Fin) -> A.y((y ~~ suc k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin))
109	32, 108	sylbi 197	. . . . . . 7 |- (A.y((y ~~ k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) -> A.y((y ~~ suc k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin))
110	109	a1i 8	. . . . . 6 |- (k e. om -> (A.y((y ~~ k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) -> A.y((y ~~ suc k /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin)))
111	5, 9, 13, 25, 110	finds1 3247	. . . . 5 |- (m e. om -> A.y((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin))
112		relen 4513	. . . . . . . 8 |- Rel ~~
113	112	brrelexi 3291	. . . . . . 7 |- (A ~~ m -> A e. V)
114		breq1 2695	. . . . . . . . . . 11 |- (y = A -> (y ~~ m <-> A ~~ m))
115		raleq1 1832	. . . . . . . . . . 11 |- (y = A -> (A.x e. y x e. Fin <-> A.x e. A x e. Fin))
116	114, 115	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 |- (y = A -> ((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) <-> (A ~~ m /\ A.x e. A x e. Fin)))
117		unieq 2576	. . . . . . . . . . 11 |- (y = A -> U.y = U.A)
118	117	eleq1d 1583	. . . . . . . . . 10 |- (y = A -> (U.y e. Fin <-> U.A e. Fin))
119	116, 118	imbi12d 629	. . . . . . . . 9 |- (y = A -> (((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) <-> ((A ~~ m /\ A.x e. A x e. Fin) -> U.A e. Fin)))
120	119	cla4gv 1908	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> (A.y((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) -> ((A ~~ m /\ A.x e. A x e. Fin) -> U.A e. Fin)))
121	120	exp4a 378	. . . . . . 7 |- (A e. V -> (A.y((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) -> (A ~~ m -> (A.x e. A x e. Fin -> U.A e. Fin))))
122	113, 121	syl 10	. . . . . 6 |- (A ~~ m -> (A.y((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) -> (A ~~ m -> (A.x e. A x e. Fin -> U.A e. Fin))))
123	122	pm2.43b 67	. . . . 5 |- (A.y((y ~~ m /\ A.x e. y x e. Fin) -> U.y e. Fin) -> (A ~~ m -> (A.x e. A x e. Fin -> U.A e. Fin)))
124	111, 123	syl 10	. . . 4 |- (m e. om -> (A ~~ m -> (A.x e. A x e. Fin -> U.A e. Fin)))
125	124	r19.23aiv 1789	. . 3 |- (E.m e. om A ~~ m -> (A.x e. A x e. Fin -> U.A e. Fin))
126	1, 125	sylbi 197	. 2 |- (A e. Fin -> (A.x e. A x e. Fin -> U.A e. Fin))
127	126	imp 348	1 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A x e. Fin) -> U.A e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221  A.wal 990   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  A.wral 1691  E.wrex 1692  Vcvv 1857   u. cun 2097   (_ wss 2099  (/)c0 2332  {csn 2467  U.cuni 2569   class class class wbr 2692  suc csuc 2977  omcom 3218   |` cres 3253  "cima 3254   Fn wfn 3258  -->wf 3259  -1-1->wf1 3260  -onto->wfo 3261  -1-1-onto->wf1o 3262  ` cfv 3263   ~~ cen 4505  Fincfn 4508

This theorem is referenced by:  unifi2 4702  iunfi 4712  heiborlem23 12033

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-oadd 4271  df-er 4401  df-en 4509  df-fin 4512

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