MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifi Unicode version

Theorem unifi 7358
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )

Proof of Theorem unifi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss3 3302 . 2  |-  ( A 
C_  Fin  <->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
2 uniiun 4108 . . 3  |-  U. A  =  U_ x  e.  A  x
3 iunfi 7357 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  x  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  x  e.  Fin )
42, 3syl5eqel 2492 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  x  e.  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
51, 4sylan2b 462 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2670    C_ wss 3284   U.cuni 3979   U_ciun 4057   Fincfn 7072
This theorem is referenced by:  unifi2  7359  unirnffid  7360  incexc  12576  incexc2  12577  discmp  17419  tsmsxplem1  18139  heiborlem1  26414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-fin 7076
  Copyright terms: Public domain W3C validator