MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifi Unicode version

Theorem unifi 7140
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
Dummy variable  x is distinct from all other variables.

Proof of Theorem unifi
StepHypRef Expression
1 dfss3 3171 . 2  |-  ( A 
C_  Fin  <->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
2 uniiun 3956 . . 3  |-  U. A  =  U_ x  e.  A  x
3 iunfi 7139 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  x  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  x  e.  Fin )
42, 3syl5eqel 2368 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  x  e.  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
51, 4sylan2b 463 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1685   A.wral 2544    C_ wss 3153   U.cuni 3828   U_ciun 3906   Fincfn 6858
This theorem is referenced by:  unifi2  7141  unirnffid  7142  incexc  12290  incexc2  12291  discmp  17119  tsmsxplem1  17829  heiborlem1  25934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-en 6859  df-fin 6862
  Copyright terms: Public domain W3C validator