MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifi2 Unicode version

Theorem unifi2 7387
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This version of unifi 7386 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 7361). (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
unifi2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  U. A  ~<  om )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem unifi2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 7356 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
2 isfinite2 7356 . . . . 5  |-  ( x 
~<  om  ->  x  e.  Fin )
32ralimi 2773 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  x  ~<  om  ->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
4 dfss3 3330 . . . 4  |-  ( A 
C_  Fin  <->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
53, 4sylibr 204 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  ~<  om  ->  A  C_  Fin )
6 unifi 7386 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
71, 5, 6syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  U. A  e.  Fin )
8 fin2inf 7361 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  om  e.  _V )
98adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  om  e.  _V )
10 isfiniteg 7358 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( U. A  e.  Fin  <->  U. A  ~<  om ) )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  ( U. A  e.  Fin  <->  U. A  ~<  om ) )
127, 11mpbid 202 1  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  U. A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   omcom 4836    ~< csdm 7099   Fincfn 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104
  Copyright terms: Public domain W3C validator