Theorem unifi2 4533

Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This version of unifi 4532 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 4527).

Assertion

Ref	Expression
unifi2	|- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> U.A ~< om)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem unifi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unifi 4532	. . . . 5 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A E.n e. om x ~~ n) -> E.n e. om U.A ~~ n)
2		isfinite2 4523	. . . . 5 |- (A ~< om -> E.n e. om A ~~ n)
3		isfinite2 4523	. . . . . 6 |- (x ~< om -> E.n e. om x ~~ n)
4	3	r19.20si 1698	. . . . 5 |- (A.x e. A x ~< om -> A.x e. A E.n e. om x ~~ n)
5	1, 2, 4	syl2an 454	. . . 4 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> E.n e. om U.A ~~ n)
6		isfinite1 4510	. . . 4 |- (E.n e. om U.A ~~ n -> (U.A ~<_ om /\ -. om ~~ U.A))
7	5, 6	syl 10	. . 3 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> (U.A ~<_ om /\ -. om ~~ U.A))
8		fin2inf 4527	. . . . . . 7 |- (A ~< om -> om e. V)
9		ensymg 4392	. . . . . . 7 |- (om e. V -> (U.A ~~ om -> om ~~ U.A))
10	8, 9	syl 10	. . . . . 6 |- (A ~< om -> (U.A ~~ om -> om ~~ U.A))
11	10	con3d 95	. . . . 5 |- (A ~< om -> (-. om ~~ U.A -> -. U.A ~~ om))
12	11	adantr 389	. . . 4 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> (-. om ~~ U.A -> -. U.A ~~ om))
13	12	anim2d 559	. . 3 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> ((U.A ~<_ om /\ -. om ~~ U.A) -> (U.A ~<_ om /\ -. U.A ~~ om)))
14	7, 13	mpd 26	. 2 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> (U.A ~<_ om /\ -. U.A ~~ om))
15		brsdom 4363	. 2 |- (U.A ~< om <-> (U.A ~<_ om /\ -. U.A ~~ om))
16	14, 15	sylibr 200	1 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> U.A ~< om)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802  U.cuni 2493   class class class wbr 2609  omcom 3121   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-oadd 4119  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353

Copyright terms: Public domain