MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifi2 Unicode version

Theorem unifi2 7142
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This version of unifi 7141 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 7116). (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
unifi2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  U. A  ~<  om )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem unifi2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 7111 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
2 isfinite2 7111 . . . . 5  |-  ( x 
~<  om  ->  x  e.  Fin )
32ralimi 2620 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  x  ~<  om  ->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
4 dfss3 3172 . . . 4  |-  ( A 
C_  Fin  <->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
53, 4sylibr 205 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  ~<  om  ->  A  C_  Fin )
6 unifi 7141 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
71, 5, 6syl2an 465 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  U. A  e.  Fin )
8 fin2inf 7116 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  om  e.  _V )
98adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  om  e.  _V )
10 isfiniteg 7113 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( U. A  e.  Fin  <->  U. A  ~<  om ) )
119, 10syl 17 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  ( U. A  e.  Fin  <->  U. A  ~<  om ) )
127, 11mpbid 203 1  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  U. A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1685   A.wral 2545   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   U.cuni 3829   class class class wbr 4025   omcom 4656    ~< csdm 6858   Fincfn 6859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863
  Copyright terms: Public domain W3C validator