Theorem uniimadom 4790

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99.

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadom.1	|- A e. V
uniimadom.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
uniimadom	|- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem uniimadom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 4402	. 2 |- ((U.(F"A) ~<_ ((F"A) X. B) /\ ((F"A) X. B) ~<_ (A X. B)) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))
2		uniimadom.2	. . . 4 |- B e. V
3		unidomg 4789	. . . 4 |- (((F"A) e. V /\ B e. V /\ A.y e. (F"A)y ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ ((F"A) X. B))
4	2, 3	mp3an2 902	. . 3 |- (((F"A) e. V /\ A.y e. (F"A)y ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ ((F"A) X. B))
5		uniimadom.1	. . . . 5 |- A e. V
6	5	funimaex 3568	. . . 4 |- (Fun F -> (F"A) e. V)
7	6	adantr 389	. . 3 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> (F"A) e. V)
8		fvelima 3755	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ y e. (F"A)) -> E.x e. A (F` x) = y)
9	8	ex 373	. . . . . . 7 |- (Fun F -> (y e. (F"A) -> E.x e. A (F` x) = y))
10		breq1 2617	. . . . . . . . . 10 |- ((F` x) = y -> ((F` x) ~<_ B <-> y ~<_ B))
11	10	biimpd 153	. . . . . . . . 9 |- ((F` x) = y -> ((F` x) ~<_ B -> y ~<_ B))
12	11	r19.22si 1731	. . . . . . . 8 |- (E.x e. A (F` x) = y -> E.x e. A ((F` x) ~<_ B -> y ~<_ B))
13		r19.36av 1757	. . . . . . . 8 |- (E.x e. A ((F` x) ~<_ B -> y ~<_ B) -> (A.x e. A (F` x) ~<_ B -> y ~<_ B))
14	12, 13	syl 10	. . . . . . 7 |- (E.x e. A (F` x) = y -> (A.x e. A (F` x) ~<_ B -> y ~<_ B))
15	9, 14	syl6 22	. . . . . 6 |- (Fun F -> (y e. (F"A) -> (A.x e. A (F` x) ~<_ B -> y ~<_ B)))
16	15	com23 32	. . . . 5 |- (Fun F -> (A.x e. A (F` x) ~<_ B -> (y e. (F"A) -> y ~<_ B)))
17	16	imp 350	. . . 4 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> (y e. (F"A) -> y ~<_ B))
18	17	r19.21aiv 1710	. . 3 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> A.y e. (F"A)y ~<_ B)
19	4, 7, 18	sylanc 471	. 2 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ ((F"A) X. B))
20		imadomg 4786	. . . . 5 |- (A e. V -> (Fun F -> (F"A) ~<_ A))
21	5, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- (Fun F -> (F"A) ~<_ A)
22	5, 2	xpdom1 4429	. . . 4 |- ((F"A) ~<_ A -> ((F"A) X. B) ~<_ (A X. B))
23	21, 22	syl 10	. . 3 |- (Fun F -> ((F"A) X. B) ~<_ (A X. B))
24	23	adantr 389	. 2 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> ((F"A) X. B) ~<_ (A X. B))
25	1, 19, 24	sylanc 471	1 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807  U.cuni 2498   class class class wbr 2614   X. cxp 3163  "cima 3168  Fun wfun 3171  ` cfv 3177   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  uniimadomf 4791

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-en 4357  df-dom 4358  df-r1 4623  df-rank 4624

Copyright terms: Public domain