Theorem uniimadomf 4811

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. This version of uniimadom 4810 uses a bound-variable hypothesis in place of a distinct variable condition.

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadomf.1	|- (y e. F -> A.x y e. F)
uniimadomf.2	|- A e. V
uniimadomf.3	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
uniimadomf	|- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))

Distinct variable groups:   x,A   x,y,B   y,F

Proof of Theorem uniimadomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniimadomf.2	. . 3 |- A e. V
2		uniimadomf.3	. . 3 |- B e. V
3	1, 2	uniimadom 4810	. 2 |- ((Fun F /\ A.z e. A (F` z) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))
4		ax-17 971	. . 3 |- ((F` x) ~<_ B -> A.z(F` x) ~<_ B)
5		uniimadomf.1	. . . . 5 |- (y e. F -> A.x y e. F)
6		ax-17 971	. . . . 5 |- (y e. z -> A.x y e. z)
7	5, 6	hbfv 3729	. . . 4 |- (y e. (F` z) -> A.x y e. (F` z))
8		ax-17 971	. . . 4 |- (y e. ~<_ -> A.x y e. ~<_ )
9		ax-17 971	. . . 4 |- (y e. B -> A.x y e. B)
10	7, 8, 9	hbbr 2658	. . 3 |- ((F` z) ~<_ B -> A.x(F` z) ~<_ B)
11		fveq2 3724	. . . 4 |- (x = z -> (F` x) = (F` z))
12	11	breq1d 2629	. . 3 |- (x = z -> ((F` x) ~<_ B <-> (F` z) ~<_ B))
13	4, 10, 12	cbvral 1798	. 2 |- (A.x e. A (F` x) ~<_ B <-> A.z e. A (F` z) ~<_ B)
14	3, 13	sylan2b 452	1 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  U.cuni 2503   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  "cima 3173  Fun wfun 3176  ` cfv 3182   ~<_ cdom 4365

This theorem is referenced by:  iundom 4812

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-en 4368  df-dom 4369  df-r1 4643  df-rank 4644

Copyright terms: Public domain