Theorem uniin 2515

Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
uniin	|- U.(A i^i B) (_ (U.A i^i U.B)

Proof of Theorem uniin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40 1092	. . 3 |- (E.y((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)) -> (E.y(x e. y /\ y e. A) /\ E.y(x e. y /\ y e. B)))
2		eluni 2501	. . . 4 |- (x e. U.(A i^i B) <-> E.y(x e. y /\ y e. (A i^i B)))
3		elin 2203	. . . . . . 7 |- (y e. (A i^i B) <-> (y e. A /\ y e. B))
4	3	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ y e. (A i^i B)) <-> (x e. y /\ (y e. A /\ y e. B)))
5		anandi 510	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ (y e. A /\ y e. B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
6	4, 5	bitr 173	. . . . 5 |- ((x e. y /\ y e. (A i^i B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
7	6	exbii 1049	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ y e. (A i^i B)) <-> E.y((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
8	2, 7	bitr 173	. . 3 |- (x e. U.(A i^i B) <-> E.y((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
9		elin 2203	. . . 4 |- (x e. (U.A i^i U.B) <-> (x e. U.A /\ x e. U.B))
10		eluni 2501	. . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y(x e. y /\ y e. A))
11		eluni 2501	. . . . 5 |- (x e. U.B <-> E.y(x e. y /\ y e. B))
12	10, 11	anbi12i 482	. . . 4 |- ((x e. U.A /\ x e. U.B) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) /\ E.y(x e. y /\ y e. B)))
13	9, 12	bitr 173	. . 3 |- (x e. (U.A i^i U.B) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) /\ E.y(x e. y /\ y e. B)))
14	1, 8, 13	3imtr4 219	. 2 |- (x e. U.(A i^i B) -> x e. (U.A i^i U.B))
15	14	ssriv 2065	1 |- U.(A i^i B) (_ (U.A i^i U.B)

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 956  E.wex 978   i^i cin 2042   (_ wss 2043  U.cuni 2498

This theorem is referenced by:  tgvalt 7566  uninqs 10378  filintf 10479

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-12 966  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-v 1808  df-in 2047  df-ss 2049  df-uni 2499

Copyright terms: Public domain