MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniin Unicode version

Theorem uniin 3863
Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of [Mendelson] p. 235. See uninqs 25142 for a condition where equality holds. (Contributed by NM, 4-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
uniin  |-  U. ( A  i^i  B )  C_  ( U. A  i^i  U. B )

Proof of Theorem uniin
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.40 1599 . . . 4  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
)  ->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ) )
2 elin 3371 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
32anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B ) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
4 anandi 801 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
53, 4bitri 240 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
65exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B
) )  <->  E. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
) )
7 eluni 3846 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
8 eluni 3846 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) )
97, 8anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  /\  x  e.  U. B
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  /\  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
101, 6, 93imtr4i 257 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  (
x  e.  U. A  /\  x  e.  U. B
) )
11 eluni 3846 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( A  i^i  B )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B ) ) )
12 elin 3371 . . 3  |-  ( x  e.  ( U. A  i^i  U. B )  <->  ( x  e.  U. A  /\  x  e.  U. B ) )
1310, 11, 123imtr4i 257 . 2  |-  ( x  e.  U. ( A  i^i  B )  ->  x  e.  ( U. A  i^i  U. B ) )
1413ssriv 3197 1  |-  U. ( A  i^i  B )  C_  ( U. A  i^i  U. B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1531    e. wcel 1696    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843
This theorem is referenced by:  psss  14339  tgval  16709  uninqs  25142  uuniin  25190  inposet  25381  unint2t  25621  mapdunirnN  32462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-v 2803  df-in 3172  df-ss 3179  df-uni 3844
  Copyright terms: Public domain W3C validator