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Theorem uniioombl 18907
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 18873.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombl  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  e. 
dom  vol )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem uniioombl
StepHypRef Expression
1 ioof 10708 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 uniioombl.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3 inss2 3365 . . . . . . 7  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
4 ressxr 8844 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
5 xpss12 4780 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
64, 4, 5mp2an 656 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
73, 6sstri 3163 . . . . . 6  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
8 fss 5335 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
92, 7, 8sylancl 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
10 fco 5336 . . . . 5  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
111, 9, 10sylancr 647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
12 frn 5333 . . . 4  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
14 sspwuni 3961 . . 3  |-  ( ran  ( (,)  o.  F
)  C_  ~P RR  <->  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )
1513, 14sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  RR )
16 elpwi 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1716ad2antrl 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  z  C_  RR )
1817adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  C_  RR )
19 simprr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
2019adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
21 rphalfcl 10346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
22 rphalfcl 10346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
2423adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
25 eqid 2258 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
2625ovolgelb 18802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR  /\  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) ) )
2718, 20, 24, 26syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) ) )
282ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
29 simplll 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ph )
30 uniioombl.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
) )
32 uniioombl.3 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
33 eqid 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( (,)  o.  F )  =  U. ran  ( (,)  o.  F )
3420adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
3521adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
3635adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
3736, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
38 elmapi 6760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3938ad2antrl 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
40 simprrl 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  z  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  f ) )
41 simprrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) )
4228, 31, 32, 33, 34, 37, 39, 40, 25, 41uniioombllem6 18906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )
4342expr 601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) ) )
4443rexlimdva 2642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. f  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  <_  (
( vol * `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) ) ) )
4527, 44mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )
46 rpcn 10330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  CC )
4746adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  CC )
48 2cn 9784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
4948a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
50 2ne0 9797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
5150a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  2  =/=  0 )
5247, 49, 49, 51, 51divdiv1d 9535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  =  ( r  / 
( 2  x.  2 ) ) )
53 2t2e4 9839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5453oveq2i 5803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( r  /  4
)
5552, 54syl6eq 2306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  =  ( r  / 
4 ) )
5655oveq2d 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 4  x.  ( r  /  4
) ) )
57 4cn 9788 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
5857a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  4  e.  CC )
59 4nn 9847 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
6059nnne0i 9748 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =/=  0
6160a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  4  =/=  0 )
6247, 58, 61divcan2d 9506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( r  /  4 ) )  =  r )
6356, 62eqtrd 2290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  =  r )
6463oveq2d 5808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( vol * `  z
)  +  r ) )
6545, 64breqtrd 4021 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) )
6665ralrimiva 2601 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  A. r  e.  RR+  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) )
67 inss1 3364 . . . . . . . . 9  |-  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) 
C_  z
6867a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  C_  z )
69 ovolsscl 18808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
7068, 17, 19, 69syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
71 difss 3278 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
\  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) 
C_  z
7271a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  C_  z )
73 ovolsscl 18808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
7472, 17, 19, 73syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
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ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  e.  RR )
76 alrple 10500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
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) ) ) )  e.  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. r  e.  RR+  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) ) )
7775, 19, 76syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol * `  (
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* `  z )  +  r ) ) )
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)  e.  dom  vol  <->  ( U. ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR  /\ 
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) ) ) )  <_  ( vol * `  z ) ) ) )
8215, 80, 81sylanbrc 648 1  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  e. 
dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519    \ cdif 3124    i^i cin 3126    C_ wss 3127   ~Pcpw 3599   U.cuni 3801  Disj wdisj 3967   class class class wbr 3997    X. cxp 4659   dom cdm 4661   ran crn 4662    o. ccom 4665   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    ^m cmap 6740   supcsup 7161   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710   RR*cxr 8834    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005    / cdiv 9391   NNcn 9714   2c2 9763   4c4 9765   RR+crp 10322   (,)cioo 10623    seq cseq 11013   abscabs 11685   vol
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This theorem is referenced by:  uniiccmbl  18908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-ioo 10627  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-seq 11014  df-exp 11072  df-hash 11305  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-sum 12125  df-rest 13290  df-topgen 13307  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-cmp 17077  df-ovol 18787  df-vol 18788
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