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Theorem uniioombl 19434
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 19400.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombl  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  e. 
dom  vol )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables  f 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 10958 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 uniioombl.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3 inss2 3522 . . . . . . 7  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
4 ressxr 9085 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
5 xpss12 4940 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
64, 4, 5mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
73, 6sstri 3317 . . . . . 6  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
8 fss 5558 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
92, 7, 8sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
10 fco 5559 . . . . 5  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
111, 9, 10sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
12 frn 5556 . . . 4  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
14 sspwuni 4136 . . 3  |-  ( ran  ( (,)  o.  F
)  C_  ~P RR  <->  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )
1513, 14sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  RR )
16 elpwi 3767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1716ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  z  C_  RR )
1817adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  C_  RR )
19 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
2019adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
21 rphalfcl 10592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
2221rphalfcld 10616 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
2322adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
24 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
2524ovolgelb 19329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR  /\  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) ) )
2618, 20, 23, 25syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) ) )
272ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
2928ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
) )
30 uniioombl.3 . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
31 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( (,)  o.  F )  =  U. ran  ( (,)  o.  F )
3220adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
3321adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
3433adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
3534rphalfcld 10616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
36 elmapi 6997 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3736ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
38 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  z  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  f ) )
39 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) )
4027, 29, 30, 31, 32, 35, 37, 38, 24, 39uniioombllem6 19433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )
4126, 40rexlimddv 2794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )
42 rpcn 10576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  CC )
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  CC )
44 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
46 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  2  =/=  0 )
4843, 45, 45, 47, 47divdiv1d 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  =  ( r  / 
( 2  x.  2 ) ) )
49 2t2e4 10083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5049oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( r  /  4
)
5148, 50syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  =  ( r  / 
4 ) )
5251oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 4  x.  ( r  /  4
) ) )
53 4cn 10030 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  4  e.  CC )
55 4nn 10091 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
5655nnne0i 9990 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =/=  0
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  4  =/=  0 )
5843, 54, 57divcan2d 9748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( r  /  4 ) )  =  r )
5952, 58eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  =  r )
6059oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( vol * `  z
)  +  r ) )
6141, 60breqtrd 4196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) )
6261ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  A. r  e.  RR+  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) )
63 inss1 3521 . . . . . . . . 9  |-  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) 
C_  z
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  C_  z )
65 ovolsscl 19335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
6664, 17, 19, 65syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
67 difssd 3435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  C_  z )
68 ovolsscl 19335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
6967, 17, 19, 68syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
7066, 69readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  e.  RR )
71 alrple 10748 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  e.  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. r  e.  RR+  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) ) )
7270, 19, 71syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol * `  (
z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. r  e.  RR+  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) ) )
7362, 72mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  <_  ( vol * `  z ) )
7473expr 599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P RR )  ->  (
( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
7574ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
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) ) ) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
76 ismbl2 19376 . 2  |-  ( U. ran  ( (,)  o.  F
)  e.  dom  vol  <->  ( U. ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR  /\ 
A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( vol * `  z ) ) ) )
7715, 75, 76sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  e. 
dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975  Disj wdisj 4142   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   RR+crp 10568   (,)cioo 10872    seq cseq 11278   abscabs 11994   vol
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This theorem is referenced by:  uniiccmbl  19435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315
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