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Theorem uniioombl 18940
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 18906.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombl  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  e. 
dom  vol )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables  f 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 10737 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 uniioombl.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3 inss2 3391 . . . . . . 7  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
4 ressxr 8872 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
5 xpss12 4791 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
64, 4, 5mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
73, 6sstri 3189 . . . . . 6  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
8 fss 5363 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
92, 7, 8sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
10 fco 5364 . . . . 5  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
111, 9, 10sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
12 frn 5361 . . . 4  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
14 sspwuni 3988 . . 3  |-  ( ran  ( (,)  o.  F
)  C_  ~P RR  <->  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )
1513, 14sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  RR )
16 elpwi 3634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  z  C_  RR )
1817adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  C_  RR )
19 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
2019adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
21 rphalfcl 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
22 rphalfcl 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
2423adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
25 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
2625ovolgelb 18835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR  /\  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) ) )
2718, 20, 24, 26syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) ) )
282ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
29 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ph )
30 uniioombl.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
) )
32 uniioombl.3 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
33 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( (,)  o.  F )  =  U. ran  ( (,)  o.  F )
3420adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
3521adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
3736, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
38 elmapi 6788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3938ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
40 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  z  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  f ) )
41 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) )
4228, 31, 32, 33, 34, 37, 39, 40, 25, 41uniioombllem6 18939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )
4342expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) ) )
4443rexlimdva 2668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. f  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  <_  (
( vol * `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) ) ) )
4527, 44mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )
46 rpcn 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  CC )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  CC )
48 2cn 9812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
4948a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
50 2ne0 9825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  2  =/=  0 )
5247, 49, 49, 51, 51divdiv1d 9563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  =  ( r  / 
( 2  x.  2 ) ) )
53 2t2e4 9867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5453oveq2i 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( r  /  4
)
5552, 54syl6eq 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  =  ( r  / 
4 ) )
5655oveq2d 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 4  x.  ( r  /  4
) ) )
57 4cn 9816 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
5857a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  4  e.  CC )
59 4nn 9875 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
6059nnne0i 9776 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =/=  0
6160a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  4  =/=  0 )
6247, 58, 61divcan2d 9534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( r  /  4 ) )  =  r )
6356, 62eqtrd 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  =  r )
6463oveq2d 5836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( vol * `  z
)  +  r ) )
6545, 64breqtrd 4048 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) )
6665ralrimiva 2627 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  A. r  e.  RR+  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) )
67 inss1 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) 
C_  z
6867a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  C_  z )
69 ovolsscl 18841 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
7068, 17, 19, 69syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
71 difss 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
\  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) 
C_  z
7271a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  C_  z )
73 ovolsscl 18841 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
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)  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
7472, 17, 19, 73syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
7570, 74readdcld 8858 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  e.  RR )
76 alrple 10529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
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) ) ) )  e.  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
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o.  F ) ) ) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. r  e.  RR+  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) ) )
7775, 19, 76syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol * `  (
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ph  /\  z  e.  ~P RR )  ->  (
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)  e.  dom  vol  <->  ( U. ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR  /\ 
A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
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) ) ) )  <_  ( vol * `  z ) ) ) )
8215, 80, 81sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  e. 
dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545    \ cdif 3150    i^i cin 3152    C_ wss 3153   ~Pcpw 3626   U.cuni 3828  Disj wdisj 3994   class class class wbr 4024    X. cxp 4686    dom cdm 4688   ran crn 4689    o. ccom 4692   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5820    ^m cmap 6768   supcsup 7189   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738   RR*cxr 8862    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033    / cdiv 9419   NNcn 9742   2c2 9791   4c4 9793   RR+crp 10350   (,)cioo 10652    seq cseq 11042   abscabs 11715   vol
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This theorem is referenced by:  uniiccmbl  18941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
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