Theorem uniixp 4341

Description: The union of an infinite Cartesian product is included in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
uniixp	|- U.X_x e. A B (_ (A X. U_x e. A B)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem uniixp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 2496	. . . 4 |- (y e. U.X_x e. A B <-> E.f(y e. f /\ f e. X_x e. A B))
2		ixpf 4340	. . . . . 6 |- (f e. X_x e. A B -> f:A-->U_x e. A B)
3	2	anim2i 335	. . . . 5 |- ((y e. f /\ f e. X_x e. A B) -> (y e. f /\ f:A-->U_x e. A B))
4	3	19.22i 1036	. . . 4 |- (E.f(y e. f /\ f e. X_x e. A B) -> E.f(y e. f /\ f:A-->U_x e. A B))
5	1, 4	sylbi 199	. . 3 |- (y e. U.X_x e. A B -> E.f(y e. f /\ f:A-->U_x e. A B))
6		fssxp 3622	. . . . . 6 |- (f:A-->U_x e. A B -> f (_ (A X. U_x e. A B))
7	6	sseld 2057	. . . . 5 |- (f:A-->U_x e. A B -> (y e. f -> y e. (A X. U_x e. A B)))
8	7	impcom 351	. . . 4 |- ((y e. f /\ f:A-->U_x e. A B) -> y e. (A X. U_x e. A B))
9	8	19.23aiv 1290	. . 3 |- (E.f(y e. f /\ f:A-->U_x e. A B) -> y e. (A X. U_x e. A B))
10	5, 9	syl 10	. 2 |- (y e. U.X_x e. A B -> y e. (A X. U_x e. A B))
11	10	ssriv 2059	1 |- U.X_x e. A B (_ (A X. U_x e. A B)

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 955  E.wex 977   (_ wss 2037  U.cuni 2493  U_ciun 2556   X. cxp 3158  -->wf 3168  X_cixp 4331

This theorem is referenced by:  ixpexg 4342

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-ixp 4332

Copyright terms: Public domain