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Theorem unineq 3551
Description: Infer equality from equalities of union and intersection. Exercise 20 of [Enderton] p. 32 and its converse. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
unineq  |-  ( ( ( A  u.  C
)  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  <->  A  =  B )

Proof of Theorem unineq
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C )  ->  ( x  e.  ( A  i^i  C
)  <->  x  e.  ( B  i^i  C ) ) )
2 elin 3490 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  C ) )
3 elin 3490 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) )
41, 2, 33bitr3g 279 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C )  ->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C )
) )
5 iba 490 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  (
x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  C ) ) )
6 iba 490 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  (
x  e.  B  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
75, 6bibi12d 313 . . . . . 6  |-  ( x  e.  C  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C )
) ) )
84, 7syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  (
( A  i^i  C
)  =  ( B  i^i  C )  -> 
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
98adantld 454 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  (
( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
10 uncom 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  C )  =  ( C  u.  A
)
11 uncom 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( B  u.  C )  =  ( C  u.  B
)
1210, 11eqeq12i 2417 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C )  <->  ( C  u.  A )  =  ( C  u.  B ) )
13 eleq2 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  u.  A )  =  ( C  u.  B )  ->  (
x  e.  ( C  u.  A )  <->  x  e.  ( C  u.  B
) ) )
1412, 13sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C )  ->  (
x  e.  ( C  u.  A )  <->  x  e.  ( C  u.  B
) ) )
15 elun 3448 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  u.  A )  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
16 elun 3448 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  u.  B )  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  B ) )
1714, 15, 163bitr3g 279 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C )  ->  (
( x  e.  C  \/  x  e.  A
)  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  B ) ) )
18 biorf 395 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( x  e.  A  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  A )
) )
19 biorf 395 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( x  e.  B  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  B )
) )
2018, 19bibi12d 313 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  ( ( x  e.  C  \/  x  e.  A )  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  B ) ) ) )
2117, 20syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
2221adantrd 455 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( ( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C
)  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
239, 22pm2.61i 158 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  C
)  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
2423eqrdv 2402 . 2  |-  ( ( ( A  u.  C
)  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  ->  A  =  B )
25 uneq1 3454 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C ) )
26 ineq1 3495 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C
) )
2725, 26jca 519 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  u.  C
)  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) ) )
2824, 27impbii 181 1  |-  ( ( ( A  u.  C
)  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  <->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3278    i^i cin 3279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-v 2918  df-un 3285  df-in 3287
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