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Theorem uninqs 25050
Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 3849. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
uninqs.1  |-  R  Er  X
Assertion
Ref Expression
uninqs  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  =  ( U. B  i^i  U. C ) )

Proof of Theorem uninqs
Dummy variables  b 
c  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniin 3849 . . 3  |-  U. ( B  i^i  C )  C_  ( U. B  i^i  U. C )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  C_  ( U. B  i^i  U. C ) )
3 eluni2 3833 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. b  e.  B  x  e.  b )
4 eluni2 3833 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. C  <->  E. c  e.  C  x  e.  c )
53, 4anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U. B  /\  x  e.  U. C
)  <->  ( E. b  e.  B  x  e.  b  /\  E. c  e.  C  x  e.  c ) )
6 elin 3360 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  <->  ( x  e.  U. B  /\  x  e.  U. C ) )
7 reeanv 2709 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  B  E. c  e.  C  (
x  e.  b  /\  x  e.  c )  <->  ( E. b  e.  B  x  e.  b  /\  E. c  e.  C  x  e.  c ) )
85, 6, 73bitr4i 268 . . . 4  |-  ( x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  <->  E. b  e.  B  E. c  e.  C  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )
9 simp3l 983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  x  e.  b )
10 simp2l 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  B )
11 inelcm 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  b  /\  x  e.  c )  ->  ( b  i^i  c
)  =/=  (/) )
12113ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( b  i^i  c
)  =/=  (/) )
13 uninqs.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  Er  X
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  R  Er  X )
15 simp1l 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  B  C_  ( A /. R ) )
1615, 10sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  ( A /. R ) )
17 simp1r 980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  C  C_  ( A /. R ) )
18 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
c  e.  C )
1917, 18sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
c  e.  ( A /. R ) )
2014, 16, 19qsdisj 6738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( b  =  c  \/  ( b  i^i  c )  =  (/) ) )
2120ord 366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( -.  b  =  c  ->  ( b  i^i  c )  =  (/) ) )
2221necon1ad 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( ( b  i^i  c )  =/=  (/)  ->  b  =  c ) )
2312, 22mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  =  c )
2423, 18eqeltrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  C )
25 elin 3360 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( b  e.  B  /\  b  e.  C ) )
2610, 24, 25sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  ( B  i^i  C ) )
27 elunii 3834 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  b  /\  b  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) )
289, 26, 27syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) )
29283expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) )  ->  (
( x  e.  b  /\  x  e.  c )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C
) ) )
3029rexlimdvva 2676 . . . 4  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  ( E. b  e.  B  E. c  e.  C  ( x  e.  b  /\  x  e.  c
)  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C
) ) )
318, 30syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  (
x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) ) )
3231ssrdv 3187 . 2  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  ( U. B  i^i  U. C
)  C_  U. ( B  i^i  C ) )
332, 32eqssd 3198 1  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  =  ( U. B  i^i  U. C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   E.wrex 2546    i^i cin 3153    C_ wss 3154   (/)c0 3457   U.cuni 3829    Er wer 6659   /.cqs 6661
This theorem is referenced by:  qusp  25553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-er 6662  df-ec 6664  df-qs 6668
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