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Theorem uninqs 24370
Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 3788. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
uninqs.1  |-  R  Er  X
Assertion
Ref Expression
uninqs  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  =  ( U. B  i^i  U. C ) )

Proof of Theorem uninqs
StepHypRef Expression
1 uniin 3788 . . 3  |-  U. ( B  i^i  C )  C_  ( U. B  i^i  U. C )
21a1i 12 . 2  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  C_  ( U. B  i^i  U. C ) )
3 eluni2 3772 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. b  e.  B  x  e.  b )
4 eluni2 3772 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. C  <->  E. c  e.  C  x  e.  c )
53, 4anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U. B  /\  x  e.  U. C
)  <->  ( E. b  e.  B  x  e.  b  /\  E. c  e.  C  x  e.  c ) )
6 elin 3300 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  <->  ( x  e.  U. B  /\  x  e.  U. C ) )
7 reeanv 2678 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  B  E. c  e.  C  (
x  e.  b  /\  x  e.  c )  <->  ( E. b  e.  B  x  e.  b  /\  E. c  e.  C  x  e.  c ) )
85, 6, 73bitr4i 270 . . . 4  |-  ( x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  <->  E. b  e.  B  E. c  e.  C  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )
9 simp3l 988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  x  e.  b )
10 simp2l 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  B )
11 inelcm 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  b  /\  x  e.  c )  ->  ( b  i^i  c
)  =/=  (/) )
12113ad2ant3 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( b  i^i  c
)  =/=  (/) )
13 uninqs.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  Er  X
1413a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  R  Er  X )
15 simp1l 984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  B  C_  ( A /. R ) )
1615, 10sseldd 3123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  ( A /. R ) )
17 simp1r 985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  C  C_  ( A /. R ) )
18 simp2r 987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
c  e.  C )
1917, 18sseldd 3123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
c  e.  ( A /. R ) )
2014, 16, 19qsdisj 6669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( b  =  c  \/  ( b  i^i  c )  =  (/) ) )
2120ord 368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( -.  b  =  c  ->  ( b  i^i  c )  =  (/) ) )
2221necon1ad 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( ( b  i^i  c )  =/=  (/)  ->  b  =  c ) )
2312, 22mpd 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  =  c )
2423, 18eqeltrd 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  C )
25 elin 3300 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( b  e.  B  /\  b  e.  C ) )
2610, 24, 25sylanbrc 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  ( B  i^i  C ) )
27 elunii 3773 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  b  /\  b  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) )
289, 26, 27syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) )
29283expia 1158 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) )  ->  (
( x  e.  b  /\  x  e.  c )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C
) ) )
3029rexlimdvva 2645 . . . 4  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  ( E. b  e.  B  E. c  e.  C  ( x  e.  b  /\  x  e.  c
)  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C
) ) )
318, 30syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  (
x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) ) )
3231ssrdv 3127 . 2  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  ( U. B  i^i  U. C
)  C_  U. ( B  i^i  C ) )
332, 32eqssd 3138 1  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  =  ( U. B  i^i  U. C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   E.wrex 2517    i^i cin 3093    C_ wss 3094   (/)c0 3397   U.cuni 3768    Er wer 6590   /.cqs 6592
This theorem is referenced by:  qusp  24874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599
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