Theorem uniopel 2809

Description: Ordered pair membership is inherited by class union.

Assertion

Ref	Expression
uniopel	|- (<.A, B>. e. C -> U.<.A, B>. e. U.C)

Proof of Theorem uniopel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniop 2808	. . 3 |- U.<.A, B>. = {A, B}
2		opi2 2785	. . 3 |- {A, B} e. <.A, B>.
3	1, 2	eqeltr 1544	. 2 |- U.<.A, B>. e. <.A, B>.
4		elssuni 2526	. . 3 |- (<.A, B>. e. C -> <.A, B>. (_ U.C)
5	4	sseld 2067	. 2 |- (<.A, B>. e. C -> (U.<.A, B>. e. <.A, B>. -> U.<.A, B>. e. U.C))
6	3, 5	mpi 44	1 |- (<.A, B>. e. C -> U.<.A, B>. e. U.C)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 958  {cpr 2410  <.cop 2411  U.cuni 2503

This theorem is referenced by:  dmrnssfld 3357  unielrel 3514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504

Copyright terms: Public domain