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Theorem unipr 3815
Description: The union of a pair is the union of its members. Proposition 5.7 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)
Hypotheses
Ref Expression
unipr.1  |-  A  e. 
_V
unipr.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
unipr  |-  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )

Proof of Theorem unipr
StepHypRef Expression
1 19.43 1604 . . . 4  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  =  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  =  B )
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  =  A )  \/  E. y
( x  e.  y  /\  y  =  B ) ) )
2 vex 2766 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
32elpr 3632 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A ,  B }  <->  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )
43anbi2i 678 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  { A ,  B } )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  =  A  \/  y  =  B )
) )
5 andi 842 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  =  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  =  B ) ) )
64, 5bitri 242 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  { A ,  B } )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  =  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  =  B ) ) )
76exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  <->  E. y
( ( x  e.  y  /\  y  =  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  =  B )
) )
8 unipr.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
98clel3 2881 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  <->  E. y
( y  =  A  /\  x  e.  y ) )
10 exancom 1584 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  =  A  /\  x  e.  y )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  =  A ) )
119, 10bitri 242 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  =  A ) )
12 unipr.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
1312clel3 2881 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  <->  E. y
( y  =  B  /\  x  e.  y ) )
14 exancom 1584 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  =  B  /\  x  e.  y )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  =  B ) )
1513, 14bitri 242 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  =  B ) )
1611, 15orbi12i 509 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  =  A )  \/  E. y ( x  e.  y  /\  y  =  B ) ) )
171, 7, 163bitr4ri 271 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e. 
{ A ,  B } ) )
1817abbii 2370 . 2  |-  { x  |  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) }  =  { x  |  E. y ( x  e.  y  /\  y  e. 
{ A ,  B } ) }
19 df-un 3132 . 2  |-  ( A  u.  B )  =  { x  |  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) }
20 df-uni 3802 . 2  |-  U. { A ,  B }  =  { x  |  E. y ( x  e.  y  /\  y  e. 
{ A ,  B } ) }
2118, 19, 203eqtr4ri 2289 1  |-  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244   _Vcvv 2763    u. cun 3125   {cpr 3615   U.cuni 3801
This theorem is referenced by:  uniprg  3816  unisn  3817  uniintsn  3873  uniop  4241  unex  4490  rankxplim  7517  mrcun  13487  indistps  16711  indistps2  16712  leordtval2  16905  ex-uni  20757  toplat  24658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-v 2765  df-un 3132  df-sn 3620  df-pr 3621  df-uni 3802
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